Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде: (2.3.)

или в виде: (2.4.)

где - некоторые функции переменной , а - функции переменной .

Для решения уравнений (3.3.) и (3.4.) их следует преобразовать так, чтобы функция и дифференциал переменной оказались в одной части уравнения, а функция и дифференциал переменной - в другой части. Затем следует проинтегрировать обе части полученного равенства.

Так, уравнение вида преобразуем к виду

Далее интегрируем обе части:

Уравнение преобразуем к виду:

Далее интегрируем обе части:

ПРИМЕР 2.1. Решить дифференциальное уравнение

РЕШЕНИЕ.

- общее решение.

Заметим, что произвольную постоянную с можно брать в любом виде, удобном для дальнейших вычислений.

ПРИМЕР 2.2. Решить дифференциальное уравнение .

РЕШЕНИЕ.

- общий интеграл.

- общее решение, где

ПРИМЕР 2.3. Решить задачу Коши для уравнения ,

если .

РЕШЕНИЕ.

Находим общее решение:

Находим частное решение, подставляя значения =0, в общее решение:

Таким образом: - частное решение для заданных начальных условий.

ПРИМЕР 2.4. Решить дифференциальное уравнение

РЕШЕНИЕ.

Преобразовываем уравнение и разделяем переменные:

.