Теорема Умова-Пойтинга
Теорема Умова-Пойтинга выражает закон сохранения энергии. Она связывает изменение энергии в некотором объёме с потоком энергии через поверхность, ограничивающую этот объём.
1) - первое уравнение Максвелла
2) - второе уравнение Максвелла
Для того, чтобы получить выражение, в которое бы вошла полная энергия в каком-то объёме dV, необходимо умножить первое уравнение Максвелла на , а второе уравнение Максвелла на .
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2).
видно, что левая часть есть дивергенция со знаком «-»
Для сокращения векторное произведение на обозначим через
- вектор Пойтинга
Таким образом, вектор Пойтинга имеет размерность мощности (или энергии в единицу времени), отнесенной к единице поверхности и направление его совпадает с направлением движения острия правоходного винта, если головку последнего вращать по кратчайшему расстоянию от к .
Рассмотрим некоторый конечный объем
Заменим объемный интеграл на поверхностный на основании теоремы Остроградского - Гаусса
- запас электромагнитной энергии.
- теорема Умова-Пойтинга
- мощность тепловых потерь - энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единицу времени в единице объема.
- скорость изменения запаса электромагнитной энергии.
- поток вектора Пойтинга, входящий в поверхность S или мощность, передаваемая внутрь поверхности. Размерность ВА.
Так как вектор направлен внутрь объема, а нормаль направлена перпендикулярно наружу, то угол между нормалью и вектором будет больше 900, поэтому скалярное произведение вектора Пойтинга на нормаль всегда будет иметь отрицательное значение, следовательно, знак «-» в левой части уравнения делает эту часть положительной.
Вывод:
Теорему Умова-Пойнтинга трактуют, как уравнение энергетического баланса: левая часть - это мощность, доставляемая в виде вектора Пойтинга внутрь некоторого объема; правая часть - это энергия, расходуемая и запасаемая в единице времени в единице объема.
Пример.
Энергия постоянного тока передается по коаксиальному кабелю. Между жилой и оболочкой пространство заполнено идеальным диэлектриком. R1 – радиус жилы, R2 – радиус оболочки. Проводимость материала жилы равна бесконечности , т.е. потерь нет .
R1 < R < R2
Вектор Пойтинга направлен от нас (от источника у нагрузке). Так как , то:
Из закона полного тока
Вектор напряжённости в диэлектрике при постоянном токе определяется также, как и в условиях электростатики
– напряжение между жилой и оболочкой
– полный заряд жилы на длине l
Вектор Пойнтинга в некоторой точке диэлектрика
Поток вектора Пойнтинга
Так как вектор Пойнтинга и нормаль расположены под углом 180 градусов, то избавляемся от скалярного произведения и знака «-»
Вывод:
Получили, что вся мощность передается по диэлектрику, следовательно, энергия по жиле и оболочке не передается. Проводник (жила – оболочка), это каналы, по которым проходит ток, а так же организаторы структуры поля. Если диэлектрик не идеален, то энергия на покрытие тепловых потерь частично поступает в проводник из диэлектрика (проводимость конечна), следовательно, напряженность будет направлена по току, тогда поток вектора Пойтинга будет направлен через боковую поверхность внутрь провода.
Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 597;