Теорема Умова-Пойтинга


Теорема Умова-Пойтинга выражает закон сохранения энергии. Она связывает изменение энергии в некотором объёме с потоком энергии через поверхность, ограничивающую этот объём.

1) - первое уравнение Максвелла

2) - второе уравнение Максвелла

Для того, чтобы получить выражение, в которое бы вошла полная энергия в каком-то объёме dV, необходимо умножить первое уравнение Максвелла на , а второе уравнение Максвелла на .

 

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2).

видно, что левая часть есть дивергенция со знаком «-»

Для сокращения векторное произведение на обозначим через

- вектор Пойтинга

Таким образом, вектор Пойтинга имеет размерность мощности (или энергии в единицу времени), отнесенной к единице поверхности и направление его совпадает с направлением движения острия правоходного винта, если головку последнего вращать по кратчайшему расстоянию от к .

 

 

Рассмотрим некоторый конечный объем

Заменим объемный интеграл на поверхностный на основании теоремы Остроградского - Гаусса

- запас электромагнитной энергии.

 

- теорема Умова-Пойтинга

 

- мощность тепловых потерь - энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единицу времени в единице объема.

- скорость изменения запаса электромагнитной энергии.

- поток вектора Пойтинга, входящий в поверхность S или мощность, передаваемая внутрь поверхности. Размерность ВА.

Так как вектор направлен внутрь объема, а нормаль направлена перпендикулярно наружу, то угол между нормалью и вектором будет больше 900, поэтому скалярное произведение вектора Пойтинга на нормаль всегда будет иметь отрицательное значение, следовательно, знак «-» в левой части уравнения делает эту часть положительной.

 

 

 

Вывод:

Теорему Умова-Пойнтинга трактуют, как уравнение энергетического баланса: левая часть - это мощность, доставляемая в виде вектора Пойтинга внутрь некоторого объема; правая часть - это энергия, расходуемая и запасаемая в единице времени в единице объема.

 

Пример.

Энергия постоянного тока передается по коаксиальному кабелю. Между жилой и оболочкой пространство заполнено идеальным диэлектриком. R1 – радиус жилы, R2 – радиус оболочки. Проводимость материала жилы равна бесконечности , т.е. потерь нет .

 

R1 < R < R2

 

Вектор Пойтинга направлен от нас (от источника у нагрузке). Так как , то:

Из закона полного тока

Вектор напряжённости в диэлектрике при постоянном токе определяется также, как и в условиях электростатики

– напряжение между жилой и оболочкой

– полный заряд жилы на длине l

 

 

Вектор Пойнтинга в некоторой точке диэлектрика

Поток вектора Пойнтинга

Так как вектор Пойнтинга и нормаль расположены под углом 180 градусов, то избавляемся от скалярного произведения и знака «-»

 

Вывод:

Получили, что вся мощность передается по диэлектрику, следовательно, энергия по жиле и оболочке не передается. Проводник (жила – оболочка), это каналы, по которым проходит ток, а так же организаторы структуры поля. Если диэлектрик не идеален, то энергия на покрытие тепловых потерь частично поступает в проводник из диэлектрика (проводимость конечна), следовательно, напряженность будет направлена по току, тогда поток вектора Пойтинга будет направлен через боковую поверхность внутрь провода.



Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 625;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.01 сек.