Системи числення і способи переведення чисел із однієї системи числення в іншу

<9 10 111213 14 15 >

Системою числення (численням, нумерацією) називають систему прийомів і правил, що дозволяють встановити взаємно однозначну відповідність між будь-яким числом і його уявленням у вигляді сукупності кінцевого числа символів. Множини символів, що використовуються для такого уявлення, називають цифрами. Кожній цифрі відповідає певна кількість, що виразима цією цифрою і зветься чисельним значенням або кількісним еквівалентом даної цифри.

Розрізняють непозиційні і позиційні системи числення. В непозиційних системах має місце однозначна відповідність між цифрами і їх кількісними еквівалентами, а будь-яке число визначається як деяка функція від кількісних еквівалентів сукупності цифр, що зображають це число. Якщо як ця функція використовується функція додавання, то систему називають адитивною, якщо ж використовується функція множення, систему називають мультиплікативною. Прикладами непозиційних адитивних систем числення є римська система і одинична (унітарна) система.

Проте непозиційні системи не набули значного поширення в ЦОТ, оскільки вони характеризуються дуже складними і громіздкими алгоритмами подання чисел і виконання арифметичних операцій.

Систему числення називають позиційною, якщо одна і та ж цифра може відповідати різним кількісним еквівалентам залежно від номера місцеположення (розряду) цієї цифри в сукупності цифр, що зображають задане число. Позиційні системи розділяють на однорідні і змішані. У всіх розрядах числа, поданого в однорідній системі, використовуються цифри з однієї і тієї ж множини. Наприклад, в звичній десятковій системі у всіх розрядах будь-якого числа використовуються цифри з множини {0, 1, ..., 9}, у двійковій системі — цифри з множини {0, 1} тощо. У змішаних системах безліч цифр різна для різних розрядів. Прикладами змішаних систем є система для вимірювання кутів і дуг (в розрядах хвилин і секунд можуть бути використано 60 різних цифр, в розряді градусів — 360 різних цифр), система вимірювання часу, наприклад, в тисячоліттях, сторіччях, роках, місяцях, тижнях, добі, годиннику, хвилинах, секундах, десятих, сотих частках секунди.

Коли в позиційній системі для кожної цифри є окремий символ, її називають системою з безпосереднім поданням цифр. Існують також позиційні системи з кодованим поданням цифр. В таких системах кількість символів менше, ніж кількість цифр, а кожна цифра кодується певною комбінацією декількох символів, що є, як правило, цифри іншої системи числення. Наприклад, в змішаній системі вимірювання дуг і кутів кожна цифра розряду градусів кодується трьома десятковими символами, а в розрядах хвилин і секунд — двома десятковими символами.

Переважне поширення в ЦОТ набули однорідні позиційні системи числення. В такій системі з безпосереднім поданням цифр будь-яке число X виражається у вигляді

де k — основа системи числення, тобто кількість цифр, що використовуються в даній системі (k= 2, 3, ...); х — цифри i-го розряду подання числа в системі з основою k. Величину kⁱ прийнято називати вагою i-го розряду. Оскільки значення k відомо наперед, то вираз (1.4) запишемо в простішій формі

У виразі (1.5) кома відділяє цілу частину числа (n+1 розрядів) від дробової (m розрядів), а вага i-го розряду в k разів більша вага i-1-го розряду. Таку систему числення називають системою з природним порядком ваг. Існують системи з штучним порядком ваг, для яких вказане співвідношення ваг сусідніх розрядів не є обов’язковим. Відомі, наприклад, системи з штучним порядком ваг, в яких ціле позитивне число X виражається так:

Позиційні однорідні системи з природним порядком ваг розділяють також на системи з натуральними, негативними, дробовими і комплексними основами. Подання числа в якій-небудь системі числення називають кодом.

Системи числення з натуральною основою, в яких має місце взаємно однозначна відповідність між числом і його кодом кінцевої довжини, одержуваним за кінцеве число кроків, називають канонічними. В канонічних системах числення при записі чисел в кожному розряді може бути використана одна з до різних цифр, включаючи цифру 0. Позиційні системи числення з природним порядком ваг, в яких кількість різних допустимих цифр перевищує основу k, називають надлишковими. Надлишкові системи використовують в ЦОТ з метою підвищення надійності обробки інформації і швидкості виконання арифметичних операцій. В таких системах одному числу може відповідати декілька кодів кінцевої довжини, але одному коду відповідає одне число: Якщо кількість різних цифр у надлишковій системі дорівнює k + 2 і при цьому k = 2l, , або k = 2l+l, , то таку

систему називають квазіканонічною.

Найбільше розповсюдження в практиці обчислювальних робіт отримала десяткова позиційна однорідна система числення. Проте ця система не є найзручнішою для реалізації її в ЕОМ, де, як правило, використовують системи числення з не десятковою основою — двійкова, вісімкова і інші, а також двійково кодовані системи (тобто такі системи, цифри яких закодовані двійковими символами). Пояснюється це в першу чергу простотою, високою надійністю і високою швидкодією технічних засобів, що використовуються для подання цифр і виконання операцій, що використовуються для подання, в двійковій системі числення. З порівняння цифрових ЕОМ різного призначення випливає, що звичайно машини, що вирішують задачі з відносно великим числом операцій введення—виведення, що доводяться на одну операцію з оброблення інформації, будують із використанням десяткової (двійково-десяткової) системи числення. В машинах же, що вирішують задачі, де час введення-виведення відносно невеликий в порівнянні з часом обробки інформації, застосовують двійкову систему числення. У зв’язку з цим виникає задача перетворення (переведення) чисел з однієї системи числення в іншу.

Неважко помітити, що права частина виразу (1.4) визначає правило обчислення кількісного еквівалента числа, записаного у формі (1.5). На цьому заснований один з алгоритмів переведення чисел з однієї позиційної системи в іншу. Позначимо X(k₁) число в k₁-й системі числення. Для переведення числа в систему з основою k₂ необхідно записати X_(ki) у формі (1.4), замінити цифри x_i і основу k₁їх k₂-ми уявленнями, а потім виконати операції множення і додавання в системі з основою k₂. Розглянемо приклади.

Описаний спосіб переведення чисел з однієї системи в іншу одержав назву способу безпосереднього заміщення. Найбільше поширення цей спосіб набув у так званому табличному варіанті його реалізації. В цьому випадку в пам’яті ЕОМ зберігаються таблиці k₂-x подання k₁-x цифр і ступенів основи . Перевід чисел зводиться до вибірки з цих таблиць k₂-х еквівалентів цифр і ступенів основи, а також до виконання додавання і множення за правилами
k₂-ї арифметики. Цей спосіб зручно використовувати у разі, коли k₁ < k₂ і при переводі чисел в таку систему, де просто виконуються операції додавання і множення (наприклад, із двійкової системи в десяткову). Для спрощення обчислень при цьому можна скористатися таким виразом, одержаним з (1.4):

Проте при переводі чисел в системи з «незвиклими» основами, особливо у разі k₁ > k₂, вживання цього способу пов’язано з досить громіздкими обчисленнями. Тому у багатьох випадках зручніше користуватися окремими способами переведення цілих чисел і правильних дробів.

Спосіб переведення цілих чисел з системи з основою k₁ в систему з основою k₂, (k₁ > k₂), полягає в наступному. Число X(k1) ділять на k₂ за правилами ділення з основою k₁ до отримання залишку. Якщо часткове від ділення не нуль, то часткове стає діленим і процес ділення на k₂ продовжують. Як тільки чергове часткове стане рівним нулю, процес ділення на k₂ припиняють. Залишок, одержаний при першому діленні на k₂, представляє цифру розряду результату з вагою , залишок від другого ділення представляє цифру результату з вагою тощо. Останній залишок є цифрою результату, що має вагу .

У разі, коли k₁ < k₂, виконують множення цифри з вагою числа X_(k1) (старшої цифри числа X_(k1)) на основу k₁, після чого до добутку додають наступну (в порядку убування ваг) цифру числа X_(ki). Результат попередньої операції множать на k₁ і додають чергову цифру числа X_(ki). Цей процес закінчують, коли буде додана цифра з вагою (молодша цифра). Всі обчислення при цьому виконуються в k₂-й системі числення.

Перевід правильних дробів з системи числення з основою k₁ в систему з основою k₂ (k₁ > k₂) здійснюється так. Дріб, відповідний числу X_(ki). множиться на k₂ за правилами множення в системі з основою k₁. В одержаному добутку відділяється ціла частина, яка може бути рівною нулю, а дробова частина знову множиться на k₂ із подальшим відділенням цілої частини. Ці операції повторюють або до отримання нульової дробової частини добутку, або до отримання необхідної кількості розрядів числа X_k2в новій системі числення. Старша цифра результату переведення (тобто перша після коми) збігається з першою відокремленою цілою частиною, друга цифра результату —- з другою відокремленою цілою частиною тощо.

При k₁ < k₂ для переведення правильного дробу, що має m цифр після коми, необхідно розділити цифру молодшого розряду числа X_k1 на k₁ і скласти з наступною цифрою цього числа. Таку операцію необхідно повторити ще m-1 раз, використовуючи на кожному кроці як ділиме суму, одержану на попередньому кроці. Всі операції виконуються в k₂-й системі.

У тому випадку, коли основи позиційних однорідних систем числення зв’язані співвідношенням k₁ = , де g > 0, перевід чисел виконується дуже просто. Якщо g — ціле, перевід зводиться до заміни кожної k₁-й цифри її g-розрядним k₂-м уявленням. При дробовому g початкове число розбивають на g — розрядні групи (починаючи з молодших розрядів) і кожну групу замінюють її k₂-м уявленням.

Приклад 8. Перевести з четвіркової системи в двійкову, а потім у шістнадцяткову число X₍₄₎ — 23013311. У шістнадцятковій системі кількісним еквівалентам 10, 11........ 15 відповідають цифри А, В, ..., F.

Згідно вищевикладеному

X₍₂₎ = 1011000111110101;

X₍₁₆₎ = B 1 F 5.

Для переведення числа X з канонічної k₁-й системи числення в квазіканонічну систему з основою k₂ спочатку необхідно подати X у канонічній k₂-й системі. Потім ті цифри канонічної k₂-й системи, яких немає в квазіканонічній, замінюють комбінаціями цифр квазіканонічної системи. Після цього за правилами k₂-ї системи підсумовують всі одержані комбінації цифр з урахуванням їх ваг.

Питання для самоконтролю

1. Що таке апаратне забезпечення комп’ютера?

2. Опишіть структурну схему ЕОМ.

3. З яких основних пристроїв складається сучасний комп’ютер?

4. Дайте характеристику центрального мікропроцесора. Яке його призначення?

5. Опишіть призначення та характеристику пам’яті комп’ютера.

6. Призначення та характеристика відеосистеми комп’ютера.

7. Розкрийте призначення та характеристику пристроїв введення інформації.

8. Для чого призначені пристрої друку? Охарактеризуйте їх.

9. У чому полягає суть та яка класифікація програмного забезпечення ЕОМ?

10. Охарактеризуйте основні види програмного забезпечення ЕОМ.

11. Апаратні засоби сучасних персональних комп’ютерів