Нормальное распределение

В теории вероятностей и математической статистике важнейшую роль играет так называемое нормальное или гауссовское распределение. Значимость нормального распределения определяется тем, что оно служит хорошим приближением для большого числа наборов случайных величин, получаемых при наблюдениях и экспериментах. Нормальное распределение почти всегда имеет место, когда наблюдаемые случайные величины формируются под влиянием большого числа случайных факторов, ни один из которых существенно не превосходит остальные.

С другой стороны, нормальное распределение появляется как точное решение некоторых математических задач в рамках принятых моделей исследуемых явлений. Одно из первых таких решений, приводящие к нормальному закону распределения, были получены К. Гауссом при решении задач теории ошибок наблюдений и Дж. Максвеллом при учении распределения скоростей молекул в газе.

Функция носит название плотности нормального распределения, а ее интеграл называется нормальной функцией распределения.

Постоянная определена таким образом, чтобы вероятность попадания в случайный интервал от -∞<x<∞ была равна 1.

Постоянные μ (математическое ожидание) и σ² (дисперсия) называются параметрами распределения.

Общим для всех кривых нормального распределения является то, что примерно 68, 95 и 99,7 % площади под ними лежат соответственно в пределах ±σ, ±2σ, ±3σ.

Вопросы для самопроверки:

1. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

2. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный вы­стрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку «хорошо» рав­на 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

3. Вероятность того, что лицо умрет на 71-м году жизни, рав­на 0,04. Какова вероятность того, что человек не умрет на 71-м году?

4. В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

5. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды выни­мают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

6. В колоде 36 карт. Наудачу вынимаются из колоды 2 кар­ты. Определить вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.

7. Пусть существует две лотереи: 5 из 36 и 31 из 36. Где вероятность выиграть больше?

8. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым стрел­ком — 0,7. Найти вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.

9. Студент М может заболеть гриппом (событие А) только в результате либо переохлаждения (событие В), либо контакта с другим больным (событие С). Требуется найти Р (А), если Р (В) = 0,5, Р (С) = 0,5, Рв (А) = 0,3, Рс (А) = 0,1 при условии не­совместимости В и С.

10. Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются, и из них извлекаются по очереди четыре карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово «река»?

11. Вероятность получения желаемого результата в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до получения желаемого результата. Определить вероятность того, что придется проводить пятый опыт.

12. В ящике лежат 10 черных носков и 6 зеленых, все одного размера. Вы, не глядя, вытащили 3 носка, какова вероятность того, что образовалась хотя бы одна пара ?

13. Найти дисперсию и математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

а)

б)

13. В супе объемом 10л плавает 50 перчинок. С какой вероятностью в ложку объемом 0.01л попадет 1 перчинка.

14. К случайной величине прибавили постоянную а. Как при этом изменятся ее а) математическое ожидание; б) дисперсия?

15. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами: μ = 375 г, σ²= 25 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.

16. Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание — 2,5 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр науда­чу взятой детали.

17. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одина­ковыми, найти вероятность того, что среди 4 новорожденных 2 мальчика.

18. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из ко­торых вероятность появления события А равна 0,6. Найти диспер­сию случайной величины X — числа появлений события А в этих испытаниях.