Интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим функцию , заданную на отрезке , и предположим, что она интегрируема на отрезке . Тогда при любом эта функция будет интегрируема на отрезке и, следовательно, функция

определена при всех . При мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что для любой функции и точки из её области определения. Итак, функция равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции , не обязательно непрерывной.

Теорема 3.11 Функция , определённая выше, непрерывна при всех для любой интегрируемой функции .

Доказательство. Заметим, что если функция положительна, то значение интерпретируется как площадь под графиком , лежащая над отрезком . Если дать приращение , то площадь получит приращение в виде площади полоски, лежащей над отрезком (см. рис.).

Рис.3.4.

Эта площадь, вследствие ограниченности интегрируемой функции, мала, если приращение мало; это и означает непрерывность функции в точке .

Проведём теперь более аккуратные рассуждения, не предполагая, что функция принимает положительные значения.

Пусть фиксирована точка и взято такое приращение , что . Пользуясь аддитивностью интеграла, получаем, что

Согласно неравенству (3.5),

Но по теореме 3.5 функция ограничена, поэтому существует такая постоянная , что при всех и, в том числе, при . Воспользовавшись теоремой об интегрировании неравенства, получаем, что

откуда

При получаем по теореме "о двух милиционерах", что и , что означает, что функция непрерывна справа в любой точке .

Рассматривая аналогично отрезок при и , получаем, что

при , что означает непрерывность функции слева в любой точке .

Тем самым функция непрерывна справа в точке , непрерывна слева в точке и непрерывна (с обеих сторон) в любой точке , что и требовалось доказать.

Теорема 3.12 Пусть функция непрерывна на отрезке и функция определена всё той же формулой. Тогда имеет производную в любой точке интервала , производную справа в точке и производную слева в точке , причём эти производные совпадают со значением функции в соответствующей точке:

при и

Доказательство. Снова рассмотрим приращение при , , . Поскольку функция непрерывна, мы можем применить теорему о среднем к интегралу по отрезку :

где -- некоторая точка отрезка . Получаем, деля на :

откуда при из непрерывности следует, что

поскольку при . Получили, что правая производная совпадает с во всех точках .

Аналогично доказывается, что левая производная совпадает с во всех точках Во внутренних точках совпадение производных слева и справа со значением означает, что функция имеет производную , равную .

Точно так же доказывается, что производная интеграла

от непрерывной функции по переменному нижнему пределу равняется :

Равенство означает, что функция является первообразной для на интервале . Другая первообразная -- это, очевидно, функция .

Итак, мы получили важный результат о наличии первообразной у любой непрерывной функции:

Теорема 3.13 Пусть -- непрерывная на интервале функция. Тогда на интервале функция имеет некоторую первообразную , то есть при всех .

Доказательство. Для доказательства достаточно фиксировать произвольную точку и положить

При эти определения не противоречат друг другу, поскольку и та, и другая формулы дают .

Нетрудно видеть, что при получается , при получаем . При производная слева даёт значение , а производная справа -- значение , так что производные слева и справа совпадают и , что и завершает доказательство.

Пусть теперь -- произвольная первообразная для непрерывной функции , заданной на некотором интервале , содержащем отрезок . Мы уже проверили, что функция , такая что при служит тогда первообразной для , а поскольку любые первообразные для одной и той же функции на заданном интервале могут отличаться лишь постоянным слагаемым, получаем, что

где , при всех , в том числе и при и . Получаем и , откуда

поскольку Итак, меняя обозначение переменной интегрирования на , получаем в итоге формулу

(3.6)

где -- произвольная первообразная для функции . Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница. Она играет ключевую роль в интегральном исчислении и во всём математическом анализе.

Напомним, что мы получили её в предположении, что функция непрерывна. Если функция имеет разрыв на отрезке , то разность значений первообразной может не иметь никакого отношения к величине определённого интеграла. Поэтому при применении формулы Ньютона - Лейбница нужно строго следить за законностью этого действия.

Смысл формулы Ньютона - Лейбница (3.6) состоит в том, что для нахождения определённого интеграла нам достаточно теперь найти произвольную первообразную для функции (напомним, что для этого надо найти неопределённый интеграл) и взять разность значений этой первообразной в концах отрезка, .

Итак, формула Ньютона - Лейбница устанавливает связь между определённым интегралом от данной функции и первообразной для этой функции, то есть между определённым и неопределённым интегралами. Заметим, что смысл этих двух понятий первоначально совершенно различен: неопределённый интеграл -- это набор функций (первообразных), а определённый интеграл -- это число (равное пределу интегральных сумм).

При вычислениях разность часто называют подстановкой в функцию пределов и и обозначают . Таким образом, по определению,

а формулу Ньютона - Лейбница можно записать в виде

Пример 3.1 Для нахождения значения определённого интеграла

найдём первообразную для подынтегральной функции , вычислив неопределённый интеграл:

Поскольку нас интересует любая первообразная, то мы можем взять (с тем же успехом могли взять и , и , и т. п., но вид первообразной при проще, а постоянные сласаемые всё равно взаимно уничтожатся при вычислении подстановки). Итак, берём и вычисляем подстановку, беря в ней пределы равными пределам интегрирования:

Получаем, что

Пример 3.2 Найдём определённый интеграл

Поскольку

в качестве первообразной можно взять (положив ). Поэтому