Расчет, на прочность при изгибе
Рассчитать на прочность — это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым.
Условие прочности при изгибе:
где [σиJ — допускаемое напряжение.
По этому неравенству проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балки.
Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и сжатой зоне одновременно (рис. 32.8).
При проектировочном расчете определяют потребные размеры поперечных сечений балки или подбирают материал.
Схема нагружения и действующие нагрузки известны.
По условию прочности можно определить нагрузочную способность балки [Ми] = Wx [сг].
Примеры решения задач
Пример 1. Подобрать размеры сечения балки в виде двутавра. Известна схема нагружения балки (рис. 32.9), материал — сталь, допускаемое напряжение материала при изгибе
Решение
1. Для защемленной балки реакции в опоре определять не следует.
Проводим расчеты по характерным точкам. Размеры сечения подбираем из расчета по нормальным напряжениям. Эпюру поперечных сил строить необязательно.
Определяем моменты в характерных точках.
МА = 0; МВ = F1• 4; Мв = 20 • 4 = 80 кН • м.
В точке С приложен внешний момент пары, поэтому расчет проводим для левого сечения (без момента) и для правого — с моментом т.
Выбираем соответствующий масштаб по максимальному значению изгибающего момента. Опасное сечение — сечение балки, где действует максимальный момент. Подбираем размеры балки в опасном сечении по условию прочности
Основываясь на значении Wx = 500 см3 по таблице ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 30а: момент сопротивления Wx = 518 см3; площадь сечения А = 49,9 см2.
Для сравнения рассчитаем размеры балки квадратного сечения (рис. 32.10) при том же моменте сопротивления сечения.
Сторона квадрата Площадь сечения балки А = b2 = 14,52 = 210,2 см2.
Балка квадратного сечения в 4 раза тяжелее.
Пример 2. Проверить прочность деревянной балки (рис. 2.58), если[σ] = 100 кгс/см2; [т] = 10кгс/см2.
Решение
Максимальные изгибающий момент и поперечная сила возникают в сечении заделки.
Максимальные нормальные напряжения
т. е. прочность по нормальным напряжениям обеспечена.
Максимальные касательные напряжения
следовательно, и по касательным напряжения прочность обеспечена.
Пример 3. Подобрать сечение стальной балки, изображенной на рис. 2.59, а в трех вариантах: 1) прокатный двутавр, 2) прямоугольник с отношением сторон h/b = 4/3, 3) круг. Определить отношения масс балок прямоугольного и круглого сечения к массе балки двутаврового сечения. Допускаемое напряжение [σ] = 160 Н/мм2. Проверить подобранные сечения по касательным напряжениям. Допускаемое касательное напряжение [т] = 96 Н/мм2.
Решение
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов построены на рис. 2.59,6, в.
Максимальный изгибающий момент возникает в сечении посередине пролета балки Мхтах= 37,5 кН-м. Требуемый момент сопротивления
Подбираем сечение балки в трех вариантах:
— Сечение — прокатный двутавр. По таблице ГОСТ 8239—72 подходит двутавровый профиль № 20а, его момент сопротивления Wx = 237 см3, площадь сечения F1 = 35,5 см2,
— Сечение — прямоугольник с отношением сторон h/b = 4/3.
Для прямоугольника Wx = bh2/6; подставляя сюда b = 3h/4 и приравнивая требуемому значению, получаем:
откуда
Площадь сечения F2 = 12,3*9,2 = 113 см2.
— Сечение — круг.
откуда
Площадь поперечного сечения
Отношение масс (равное отношению площадей сечений)
Следовательно, балка прямоугольного сечения тяжелее двутавровой в 3,18 раза, а балка круглого сечения — в 3,97 раза.
Проверим прочность балки по касательным напряжениям.
Наибольшая поперечная сила
Для двутавра № 20а из ГОСТ 8239—72 находим Jх/Sx = 172 мм, толщина стенки балки b = 0,7 см = 7 мм. Наибольшие касательные напряжения для двутавра
Для прямоугольного сечения h = 123 мм, b = 92 мм
Для круглого сечения d = 134 мм
Во всех случаях максимальные касательные напряжения оказались значительно ниже допускаемых.
Пример 4. Определить, какую наибольшую равномерно распределенную нагрузку q можно приложить к двухопорной балке пролетом l = 2 м, если ее сечение представляет круг d = 220 мм, а допускаемое напряжение [σ] =100 Н/мм2.
Решение
Для данного случая наибольший изгибающий момент возникает посередине пролета
Определяем допускаемое значение наибольшего изгибающего момента
где
Тогда
Приравниваем вычисленное значение допускаемого изгибающего момента его значению, выраженному через нагрузку:
откуда
Пример 5.Определить допускаемый изгибающий момент для чугунной балки, сечение которой изображено на рис. 2.60. Допускаемые напряжения на растяжение [σр]=300 кгс/см2, на сжатие [σс] = 800 кгс/см2.
Решение
Момент инерции сечения вычисляем как разность моментов инерции большого и малого прямоугольников
Осевоймомент сопротивления
Допускаемый изгибающий момент определяем из расчета по наибольшим растягивающим напряжениям
то же, по наибольшим сжимающим напряжениям
Меньший из вычисленных моментов [Мр] = 58,7 тс-м определяет допускаемую нагрузку балки.
Таким образом, в чугунной балке симметричного сечения допускаемая нагрузка ограничивается прочностью растянутых волокон. Чтобы для чугунной балки допускаемая нагрузка была одинакова по условиям прочности растянутых и сжатых волокон, сечение ее должно быть несимметричным относительно нейтральной оси. Расстояния от нейтральной оси до крайних волокон растянутой зоны ур и сжатой ус должны удовлетворять отношению
Этого можно добиться, в частности, применив несимметричный двутавр, у которого горизонтальная полка, находящаяся в растянутой зоне, толще, чем полка, расположенная в сжатой зоне.
Контрольные вопросы и задания
1. Напишите формулу для определения нормального напряжения при изгибе в любой точке поперечного сечения.
2. Нормальное напряжение в точке В поперечного сечения 120МПа. Определите напряжение в точке С (рис. 32.11).
3. В каком случае (рис. 32.12) балка выдержит большую нагрузку?
4. Напишите формулы для определения момента инерции и момента сопротивления для прямоугольника. Что характеризуют эти величины? Укажите единицы измерения этих величин.
5. Напишите условие прочности при изгибе.
6. Определите изгибающий момент в точке В (рис. 32.13), используя метод характерных точек.
7. Подберите размеры поперечного сечения балки в виде швеллера. Максимальный изгибающий момент 15кН-м; допускаемое напряжение материала балки 160 МПа.
ЛЕКЦИЯ 33
Дата добавления: 2020-08-31; просмотров: 684;