Тема 2.5. Кручение. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Иметь представление о рациональных формах поперечного се­чения и рациональном расположении колес на валу.

Знать условия прочности и жесткости при кручении.

Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты круглого бруса для статически определимых систем.

Примеры решения задач

Пример 1. Для заданного бруса (рис. 28.1) построить эпюры крутящих моментов, рациональным расположением шкивов на валу добиться уменьшения значения максимального крутящего момента. Построить эпюру крутящих моментов при рациональном располо­жении шкивов.

Из условия прочности определить диаметры вала для сплошного и кольцевого сечений, приняв

Сравнить результаты по полученным площадям поперечных сечений.

Решение

1. Пользуясь методом сечений, определяем крутящие моменты на участках вала (рис. 28.2).

2. Строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих мо­ментов откладываем вниз от оси, т. к. моменты отрицательные.

Максимальное значение крутящего момента на валу в этом слу­чае 1000Н*м (рис. 28.1).

3. Выберем рациональное расположение колес на валу. Наиболее целесообразно такое размещение колес, при котором наибольшие положительные и отрицательные значения крутящих моментов на участках будут по возмож­ности одинаковыми. Из этих соображений ведущий шкив, передающий момент 1000 Н*м, помещаем ближе к центру вала, ведомые шкивы 1 и 2 размещаем слева от ведущего с мо­ментом 1000 Н*м, шкив 3 остается на том же месте. Строим эпюру крутящих моментов при выбранном расположении шкива (рис. 28.3).

Максимальное значение крутящего момента на валу при вы­бранном расположении колес на валу 600 Н*м.

4. Определяем диаметры вала по сечениям при условии, что се­чение — круг.

Условие прочности при кручении

Момент сопротивления кручению

Определяем диаметры вала по сечениям:

Округляем полученные значения: d₁ = 40 мм; d₂ = 45 мм; d₃ = 35 мм.

5. Определяем диаметры вала по сечениям при условии, что се­чение — кольцо.

Моменты сопротивления, полученные выше из условий прочно­сти, остаются теми же. По условию

Полярный момент сопротивления кольца

Формула для определения наружного диаметра вала кольцевого сечения будет следующей:

Расчет можно провести по формуле

Диаметры вала по сечениям:

Наружные диаметры вала кольцевого сечения практически не изменились.

Для кольцевого сечения: d₁ = 40 мм; d'₂ = 46 мм; d'₃ = 35 мм.

6. Для вывода об экономии металла при переходе на кольцевое сечение сравним площади сечений (рис. 28.4).

При условии, что сечение — круг (рис. 28.4а):

Сплошное круглое сечение:

При условии, что сечение — кольцо, с = d_BH/d₁ = 0,5 (рис. 28.4 б):

Кольцевое сечение:

Сравнительная оценка результатов:

Следовательно, при переходе с кругового на кольцевое сечение экономия металла по весу составит 1,3 раза.

Пример 2. Стальной вал диаметром 40 мм передает мощность 15кВт при угловой скорости 80рад/с (рис. 28.5); проверить проч­ность и жесткость вала, если допускаемое напряжение кручения 20 МПа. Модуль упругости при сдвиге 0,8 • 10⁵ МПа. Допускаемый угол закручивания [φ₀] = 0,6 град/м. Построить эпюру касательных напряжений и определить значение касательного напряжения в точ­ке, удаленной на 5 мм от оси вала.

Решение

1. Определяем вращающий момент на валу:

2. Проверка прочности вала. Из условия равновесия

Условие прочности:

где τ_к — расчетное напряжение в сечении; М_к — крутящий момент в сечении; W_p — момент сопротивления; [τ_к] — допускаемое напряже­ние кручения.

4. Прочность обеспечена. Максимальное касательное напряже­ние в сечении

14,65 МПа < 20 МПа.

5. Проверка жесткости. Условие жесткости:

где φ₀ — относительный угол закручивания; J_v — полярный момент инерции при кручении; [φ₀] ^— допускаемый угол закручивания.

Угол закручивания участка

Жесткость обеспечена.

6. Построим эпюру касательных напряжений в поперечном сечении (рис. 28.55). Определим напряжение в точке, удаленной на 5 мм от оси вала.

Контрольные вопросы и задания

1. Определите крутящий момент в сечении 2-2 (рис. 28.6).

2. В каком порядке рациональнее расположить шкивы, чтобы получить минимальную нагрузку на вал? Использовать схему рис. 28.6.

3. Как изменится напряжение в сечении, если диаметр вала уменьшить в два раза?

4. Проведены расчеты вала на прочность и жесткость. Получено: диаметр вала из расчета на прочность 65 мм, диаметр вала из расчета на жесткость 70 мм. Каким должен быть вал?

5. Как изменится угол закручивания вала, если крутящий момент увеличить в 4 раза, а диаметр уменьшить в 2 раза?

6. Напишите условия прочности и жесткости при кручении.