Примеры решения задач
Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φо] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 105 МПа.
Решение
1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.
Условие прочности при кручении:
Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:
Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении
Значения подставляем в ньютонах и мм.
Определяем диаметр вала:
2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.
Условие жесткости при кручении:
Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:
Определяем диаметр вала:
3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.
Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.
Полученное значение следует округлить, используя ряд предпочтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение dвала = 75 мм.
Для определения диаметра вала желательно пользоваться стандартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.
Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τтах = 40 Н/мм2. Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.
Решение
Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, б. Очевидно,
откуда
Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d0 = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм2. Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.
Решение
Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в. Очевидно,
Откуда
Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d0 = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент Мz = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.
Решение
Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле
В рассматриваемом примере Мz = 3 кН-м = 3-106 Н• мм,
Подставляя числовые значения, получаем
Пример 5. Стальная труба (d0 = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т, приложенными в ее торцевых сечениях. Определить величину т, при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения.
Решение
Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле
тогда
В данном случае
Подставляя числовые значения, получаем
Вычисляем максимальные касательные напряжения:
Пример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а) построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений, углов поворота поперечных сечений.
Решение
Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скручивающие) моменты и места изменения размеров поперечного сечения.
Пользуясь соотношением
строим эпюру крутящих моментов.
Построение эпюры Мz начинаем со свободного конца бруса:
для участков III и IV
для участка V
Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б. Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τшах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I
на участке II
на участке III
на участке IV
на участке V
Эпюра максимальных касательных напряжений показана на рис. 2.38, в.
Угол поворота поперечного сечения бруса при постоянных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле
Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φл = 0, так как в этом сечении брус закреплен.
Эпюра углов поворота поперечных сечений изображена на рис. 2.38, г.
Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.39, а) передается от двигателя мощность NB = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности NA = 15 кВт и NC = 21 кВт. Частота вращения вала п = 300 об/мин. Проверить прочность и жесткость вала, если [τKJ = 30 Н/мм2, [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2, d1 = 45 мм, d2 = 50 мм.
Решение
Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:
где
Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответствующий NА, положительным, Nc — отрицательным. Эпюра Mz показана на рис. 2.39, б. Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ
что меньше [тк] на
Относительный угол закручивания участка АВ
что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.
Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС
что меньше [тк] на
Относительный угол закручивания участка ВС
что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.
Следовательно, прочность вала обеспечена, а жесткость — нет.
Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 поступает на вал 2 мощность N1 = 15 кВт и к рабочим машинам — мощности N2 = 2 кВт и N3 = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N4 = 7 кВт, N5 = 4 кВт, N6 = 4 кВт (рис. 2.40, а). Определить диаметры валов d1 и d2 из условия прочности и жесткости, если [τKJ = 25 Н/мм2, [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2. Сечения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D1 = 200 мм, D2 = 400 мм, D3 = 200 мм, D4 = 600 мм. Скольжением в ременной передаче пренебречь.
Решение
Нарис. 2.40, б изображен вал I. На него поступает мощность N и с него снимаются мощности Nl, N2, N3.
Определим угловую скорость вращения вала 1 и внешние скручивающие моменты m, m1, т2, т3:
Строим эпюру крутящих моментов для вала 1 (рис. 2.40, в). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие N3 и N1, положительными, а N — отрицательным. Расчетный (максимальный) крутящий момент Nx1 max = 354,5 H*м.
Диаметр вала 1 из условия прочности
Диаметр вала 1 из условия жесткости ([Θ], рад/мм)
Окончательно принимаем с округлением до стандартного значения d1 = 58 мм.
Частота вращения вала 2
На рис. 2.40, г изображен вал 2; на вал поступает мощность N1, а снимаются с него мощности N4, N5, N6.
Вычислим внешние скручивающие моменты:
Эпюра крутящих моментов для вала 2 показана на рис. 2.40, д. Расчетный (максимальный) крутящий момент Мя max" = 470 H-м.
Диаметр вала 2 из условия прочности
Диаметр вала 2 из условия жесткости
Окончательно принимаем d2=62 мм.
Пример 9. Определить из условий прочности и жесткости мощность N (рис. 2.41, а), которую может передать стальной вал диаметром d = 50 мм, если [тк] = 35 Н/мм2, [ΘJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I04 Н/мм2, n = 600 об/мин.
Решение
Вычислим внешние моменты, приложенные к валу:
где
Расчетная схема вала показана на рис. 2.41, б.
На рис. 2.41, в представлена эпюра крутящих моментов. Расчетный (максимальный) крутящий момент Mz = 9,54N. Условие прочности
откуда
Условие жесткости
откуда
Лимитирующим является условие жесткости. Следовательно, допускаемое значение передаваемой мощности [N] = 82,3 кВт.
Дата добавления: 2020-08-31; просмотров: 646;