Численное интегрирование
При вычислении определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница
b
! f(x)dx = F(b) - F(a) (6.1)
а
необходимо для подынтегральной функции f(x) найти первообразную F(x). Однако далеко не всякая подынтегральная функция f(x) имеет в качестве первообразной элементарную функцию.
Если интеграл не выражается через элементарные функции, то для его вычисления используют численные методы. Приведём примеры интегралов «не берущихся в конечном виде» :
, , , .
Численные методы интегрирования применяют и тогда, когда аналитические методы интегрирования не применимы или слишком сложны.
Например, если необходимо вычислить определенный интеграл от таблично заданной функции, то применение численного интегрирования является неизбежным.
Формулы для приближенного вычисления интегралов часто, называют квадратурными.
6.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
(Котес Роджер (10. 7.1682–5.6.1716) – английский математик, друг и ученик И. Ньютона)
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
b
! y(x)dx = F(b) - F(a) (6.2)
а
При выводе квадратурных формул для приближенного вычисления определенного интеграла вспомним его геометрический смысл – интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции, осью Ох и отрезками прямых х = a и х = b.
Разобьем отрезок [а, b] на п частей точками хi:
xi = a + ih, i = 0, 1,..., n; x0 = a, xn = b, (6.3)
Обозначим через yi значения функции в точках xi. Заменим подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа (4.17):
y(x) = Ln(x) = = × (6.4)
Тогда получим приближенную формулу для вычисления интеграла:
» , (6.5)
где Ai – числовые коэффициенты, которые не зависят от подынтегральной функции и их значения для заданного п всегда можно определить.
Выведем формулы для вычисления коэффициентов Ai. Введем обозначения
, q[n + 1] = q(q - l)...(q - n). Тогда многочлен Лагранжа можно записать в виде
Ln(x) = ,
Заменяя под знаком интеграла в (6.5) функцию у(х) многочленом Ln(x),
получим
= ,
= .
Отсюда следуют формулы для вычисления коэффициентов Ai:
Ai = = = · = (b – a)Hi,
где i = 0, 1,..., n.
Коэффициенты Hi называются коэффициентами Котеca ивычисляются по формулам
Hi = , i = 0, 1,..., n. (6.6)
Далее рассмотрим простейшие квадратурные формулы, являющиеся частными случаями этих соотношений.
a) Формула прямоугольников
Формулы прямоугольников получаются заменой подынтегральной функции постоянным значением. В качестве такого значения выбирают значение функции в одной из точек отрезка [а, b]или на левом конце отрезка, или на правом конце, или в середине отрезка (рис. 6.1):
» y(a)(b – a), (6.7)
» y(b)(b – a), (6.8)
» y( )(b – a), (6.9)
Если формулы (6.7)–(6.9) применить к каждой части [xi, xi + 1]частичного отрезка [а, b],получим общие формулы прямоугольников.Фактически, определенный интеграл в этом случае приближенно заменяется интегральной суммой:
» , (6.10)
» , (6.11)
» , (6.12)
Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью ступенчатой фигуры. В частности, рис. 6.2 иллюстрирует формулу (6.10).
Рис. 6.2.
Формулу (6.10) называют формулой левых прямоугольников, (6.11) – формулой правых прямоугольников, а (6.12) – формулой средних прямоугольников.
Формулы прямоугольников практически не используются из-за большой погрешности порядка O(h) (у формулы средних прямоугольников более высокий порядок O(h2)).
б) Формула трапеций
Положим в формуле (6.6) п = 1 и вычислим значения Hi:
Hi = , i = 0, 1;
H0 = = = = ;
H1 = = , откуда A0 = A1 = .
Таким образом, заменяя подынтегральную функцию многочленом Лагранжа первой степени получаем формулу трапеций:
» h, h = b – a. (6.13)
Геометрический смысл формулы трапеций (6.13) заключается в том, что кривая у = у(х) заменяется отрезком прямой, проходящей через точки (х0, у0) и (х1, у1), или, в других обозначениях, (а, у(а)) и (b, у(b)) (рис. 6.3).
Понятно, что формулы трапеций и средних прямоугольников являются точными для линейной функции.
Если обобщить (6.13) для равномерного разбиения отрезка на п частей, приходим к общей формуле трапеций (рис. 6.4):
» = , . (6.14)
Рис. 6.4
Погрешность формулы трапеций (6.13) есть величина порядка O(h3). В этом можно убедиться, используя формулу погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа. А для общей формулы трапеций (6.14) погрешность есть величина порядка O(h2), так как при суммировании погрешности накапливаются.
в) Формула Симпсона
(Симпсон Томас(20.8.1710–14.5.1751) – английский математик)
Применяя интерполяционную формулу Лагранжа при п = 2, получим значения коэффициентов:
Hi = , i = 0, 1, 2.
H0 = = ,
H1 = - = ,
H2 = = ,
h = , Ai = (b – a)Hi = 2hHi, A0 = , A1 = , A2 = .
» . (6.15)
Геометрический смысл формулы Симпсона (6.15) заключается в том, что кривая у = у(х) заменяется частью параболы, проходящей через три точки (х0, у0), (х1, у1) и (х2, у2) (рис. 6.5, а).
Формула Симпсона точна не только для полинома второй степени, но и для полинома третьей степени в силу симметрии, показанной на рис. 6.5, б.
Остаточный член формулы (6.15) имеет порядок O(h5). Общая формула Симпсона строится для четного п = 2m; при этом формула (6.15) применяется для каждого отрезков [х0, х2], [х2, х4], ... , [хп - 2, xn]:
» (у0 + 4у1 + 2у2 + 4у3 +...+2у2m-2 + 4y2т-1 + у2т) =
= (6.16)
Остаточный член общей формулы Симпсона (6.16) имеет порядок O(h4).
г) Формулы Ньютона–Котеса высших порядков
Полагая в формуле (6.6) п = 3, можно вычислить значения коэффициентов Ai:
A0 = , A1 = A2 = , A3 = .
и получить квадратурную формулу Ньютона
» . (6.17)
Формула (6.17) имеет погрешность того же порядка, что и формула Симпсона (6.15), т. е. O(h5).
Приведем таблицу значений коэффициентов Котеса (табл. 1).
Таблица 1
п | Но | Н1 | H2 | Hз | H4 | H5 | H6 | Множитель для получения Аi |
1/2 | 1/2 | h | ||||||
1/6 | 4/6 | 1/6 | 2h | |||||
1/8 | 3/8 | 3/8 | 1/8 | 3h |
Окончание табл. 1
п | Но | Н1 | H2 | Hз | H4 | H5 | H6 | Множитель для получения Аi |
7/90 | 32/90 | 12/90 | 32/90 | 7/90 | 4h | |||
19/288 | 75/288 | 50/288 | 50/288 | 75/288 | 19/288 | 5h | ||
41/840 | 216/840 | 27/840 | 272/840 | 27/840 | 216/840 | 41/840 | 6h |
Например, квадратурная формула Ньютона–Котеса для п = 5 имеет вид
» . (6.18)
Квадратурные формулы с нечетным числом узлов (п = 2, 4, 6) являются более удобными, т. е. выгоднее применять формулу Симпсона (6.15), чем формулу Ньютона (6.17), так как при одном и том же порядке погрешности формула Ньютона требует больше узлов (и больше вычислений), чем формула Симпсона. Аналогично, формула для п = 4 лучше, чем формула для п = 5, и т. д.
6.2. Правило Рунге оценки погрешности
Приведем сводку квадратурных формул с остаточными членами.
Формула трапеций:
» .
» .
Рассмотрим на примере общей формулы Симпсона (6.16) правило Рунге для оценки погрешности. Пусть подынтегральная функция четырежды непрерывно дифференцируема. Тогда формула остаточного члена имеет вид
R(h) = (6.19)
где ξ – некоторое число из отрезка [а, b].
Предположим, что производная yIV(x) изменяется на этом отрезке медленно, и приближенно можно записать остаточный член в виде R(h) = Мh4, где М – постоянная. Пусть Sh, и S2h, соответственно значения интеграла, полученные по общей формуле Симпсона с шагом h и 2h. Тогда справедливы соотношения
= , = .
Отсюда получим формулу для оценки погрешности
(6.20)
Уточненное значение интеграла по формуле Симпсона вычисляется с учетом поправки
= (6.21)
Для формулы трапеций также можно применить правило Рунге. Так как формула остаточного члена общей формулы трапеций может быть представлена в виде R(h) = Mh2, справедливы соотношения
= , = .
Отсюда получим формулу для оценки погрешности:
Mh2 = R(h) = .
Теперь для интеграла можно записать (по правилу Рунге) формулу трапеций с поправкой
= (6.22)
Замечание. Здесь необходимо подчеркнуть, что описанное правило Рунге применимо только тогда, когда выполняются указанные выше условия для функции у(х) – существование производной соответствующего порядка и ее ограниченность, точнее говоря, возможность приближенного представления погрешности в виде R(h) = Mh4 для формулы Симпсона (R(h) = Mh2 для формулы трапеций), где М – постоянная. Погрешность представления остаточного члена в указанном виде считается достаточно малой. Эти условия для конкретной функции могут не выполняться, тогда правило Рунге не будет гарантировать приемлемый результат.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Численное дифференцирование | | | Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений |
Дата добавления: 2020-08-31; просмотров: 479;