Рух вільного твердого тіла. Розподіл лінійних швидкостей і прискорень у вільному твердому тілі

Основна ознака абсолютно твердого тіла – незмінність відстаней між довільними точками такого тіла. Звідси випливає властивість збереження кута між двома довільними прямими, проведеними в абсолютно твердому тілі. Як буде показано далі, цих властивостей досить для визначення основного закону розподілу швидкостей і прискорень у вільному твердому тілі.

рис.1.17

Розглянемо точку вільного твердого тіла довільної форми (рис.1.17).З тілом А незмінно зв’язана система координат . Точка нерухома. Точку назвемо полюсом. З рис.1.17 видно, що радіус-вектор точки :

(1.48)

На підставі (1.48) знайдемо швидкість точки М:

(1.49)

Необхідно знайти похідні і . Для цього скористаємося згаданими властивостями абсолютно твердого тіла. Розглянемо дві системи рівностей

(а)

(в)

Ці рівняння означають збереження довжин ортів і кутів між ними. Диференціюючи рівності (а) за часом, дістанемо

(с)

Рівності (с) – умови ортогональності векторів відповідно , і та . Тому

(d)

Тут - довільні вектори .

З рівностей (в), після диференціювання їх за часом, дістанемо

(е)

Підставляючи (d) в (е) , маємо

(g)

звідки на підставі властивостей змішаного добутку векторів

(h)

або

(і)

Вектор . У загальному випадку руху вільного твердого тіла вектор не буде перпендикулярним до орту . Отже, рівність (і) виконується, якщо =0, тобто .

Аналогічно , .

Отже

. (j)

а рівності (d) мають вигляд:

(k)

Рівність (1.49), що визначає швидкість точки М на підставі (k) набуває вигляду

,

або

. (1.50)

Рівність (1.50) визначає закон розподілу швидкостей у вільному твердому тілі. Диференціюючи (1.50) за часом дістанемо закон розподілу прискорень:

. (1.51)

.

У виразах (1.50) і (1.51) фізичний зміст векторів і не визначено. Його можна визначити, розглядаючи окремі випадки руху тіла.

Наприклад, якщо вісь обертання нерухома і полюс знаходиться на цій осі, то =0 і , де - вектор кутової швидкості, напрямлений вздовж осі.

На підставі (1.50) і (1.51) можна зробити висновок:

Рух вільного твердого тіла можна розкласти на два рухи: поступальний, що визначається рухом довільної фіксованої точки тіла, яку називають полюсом, і обертальний рух навколо осі, що проходить через полюс. Цю вісь називають миттєвою віссю обертання, а - миттєвою кутовою швидкістю.

З рівності (1.48), як наслідок, випливає важлива теорема.

Теорема. Проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що поєднує ці точки, рівні між собою.

Рис. 1.18

Розглянемо точки і (рис.1.18). Пряма, що їх поєднує це радіус-вектор . Орт вектора дорівнює відношенню . Помножимо обидві сторони (1.50) скалярно на , тобто знайдемо проекцію цієї рівності на . Другий доданок у правій частині (1.50) перпендикулярний до орта . Тому

. (1.52)

Приклади

1. Розглянемо рівнозмінний обертальний рух тіла навколо нерухомої осі. У цьому разі кутове прискорення тіла – величина стала ( .

Згідно з (1.39) , або , звідки

. (а)

Користуючись (1.38), маємо

. (в)

інтегруючи (в), дістаємо

, (с)

де і - сталі інтегрування, що знаходяться з початкових умов.

Якщо

, (d)

то з (в) і (с) дістанемо

, . (е)

Підставляючи (е) в (а) і (в), дістаємо закон рівнозмінного обертального руху тіла навколо нерухомої осі:

. (1.53)

і закон зміни кутової швидкості в цьому русі:

. (1.54)

рис. 1.19

1. Два шківи I і II з’єднано нескінченним пасом (рис.1.19). Радіуси шківів відповідно і м. Внутрішній радіус шківа II м. Знайти швидкість точок паса і кутові швидкості обох шківів, якщо рівняння руху тягаря III ( - в метрах, - в секундах).

Припускаючи, що рух каната відбувається без ковзання, дістаємо, що швидкість точки стикання каната зі шківом II дорівнює швидкості тягаря III.

З рівняння руху тягаря ця швидкість .

Отже, кутова швидкість шківа II

.

Оскільки пас рухається без ковзання, то точки ободів шківів мають однакову швидкість , і

Звідси

.

3. Тіло обертається навколо нерухомої осі згідно з законом . Визначити швидкість точки тіла на відстані м від осі обертання в момент, коли рад.

Відповідь: 5 .

4. Закон обертального руху тіла . Визначити прискорення точки тіла на відстані м від осі обертання.

5. Кутова швидкість колеса I змінюється за законом . Визначити прискорення тягаря 3 в момент часу с. Якщо радіуси м, м і м (рис.1.20).

Відповідь: 2 .