Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова.

2.3.1. Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала

Найдем связь между спектром дискретизированного сигнала и спектром исходного сигнала до его дискретизации. Для этого учтем выражение для обратного преобразования Фурье:

.

Соответственно, можно записать следующую связь со спектром исходного непрерывного сигнала :

.

Подставим это соотношение в выражение для спектра дискретизированного сигнала:

.

Учтем, что

.

Воспользуемся фильтрующим свойством дельта-функции:

.

Результирующая связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного непрерывного сигнала описывается выражением:

. (2.13)

Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой периодическую последовательность на оси частот спектров исходного непрерывного сигнала с интервалом частоты дискретизации .

2.2.3.2. Восстановление исходного непрерывного сигнала. Теорема Котельникова.

Если верхняя граничная частота исходного непрерывного сигнала ограничена условием

, (2.14)

то отдельные копии спектра не накладываются друг на друга в спектре дискретизированного сигнала.

Рисунок 2.2 – восстановление исходного непрерывного сигнала

В этом случае ( ) исходный непрерывный сигнал может быть полностью восстановлен с помощью идеального ФНЧ, имеющего прямоугольную ЧХ:

Импульсная характеристика такого фильтра является обратным преобразованием Фурье от частотной характеристики:

.

В соответствии с интегралом Дюамеля можно восстановить исходный ограниченный по спектру сигнал следующим образом:

. (2.15)

Точная формулировка теоремы Котельникова имеет следующий вид:

Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше , может быть полностью восстановлен, если известны дискретные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени .