Дискретное преобразование Фурье

Спектральная плотность дискретизированного сигнала является непрерывнойпериодической функцией частоты. Однако для цифровой обработки требуется дискретизация сигнала не только во временной области, но и в частотной.

Для этого сплошной спектр должен быть представлен совокупностью своих дискретных значений:

.

Такой (дискретный) спектр может в соответствии с теорией рядов Фурье быть получен в результате периодического повторения исходной последовательности с периодом .

В этом случае интервал между соседними спектральными составляющими равен:

. (3.1)

Рисунок 3.1 – дискретизация сигнала по времени и по спектру

После подстановки получаем следующее выражение для спектральной плотности (с учетом перехода от бесконечной последовательности к конечной длительностью ):

, (3.2)

(для четного N).

Выражение (3.2) называют дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), которое обычно записывается через целочисленные аргументы и :

, (3.3)

.

С учетом периодичности ДПФ его можно записывать следующим образом:

, (3.4)

.

Можно показать, что обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) записывается в виде:

, (3.5)

.

Таким образом, ДПФ представляет собой:

- дискретные отсчеты непрерывного спектра дискретизированного сигнала ;

- спектр периодической последовательности сигналов , повторяемых с периодом NТ.