Z – преобразование дискретных сигналов
2.4.1. Определение z – преобразования
При математическом описании дискретных сигналов в выражении для спектра важную роль играет функция , которая при преобразованиях возводится в целую степень . Однако эта функция является трансцендентной, что существенно усложняет спектральный анализ. Для упрощения анализа вводят новую переменную , которая связана с частотой выражением:
.
При такой замене спектр дискретизированного сигнала преобразуется в рациональную функцию переменной :
, (2.16)
где - оригинал - преобразования;
- - изображение функции .
Полученное выражение называется прямым - преобразованием.
- преобразование дискретных сигналов является частным случаем преобразования Лапласа для дискретизированных сигналов ( ).
Вводится для:
- полезно иметь дискретный аналог преобразования Лапласа, справедливый для более широкого класса сигналов;
- при аналитических исследованиях и расчетах пользоваться - преобразованием более удобно.
Пример z – преобразования
Пусть необходимо получить z – изображение дискретного единичного скачка:
В результате применения z – преобразования к дискретному единичному скачку можно получить:
.
Полученное выражение представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:
при .
Соответственно, z – изображение дискретного единичного скачка имеет вид:
.
2.4.2. Свойства z – преобразования
1. Линейность:
имеет z-преобразование .
2. Задержка:
Последовательность имеет Z-преобразование .
3. Обращение во времени:
Последовательность имеет z-преобразование .
4. Масштабирование:
Последовательность имеет z-преобразование .
5. Свертка:
Последовательность , характеризующая связь выходного сигнала через входной и импульсную характеристику дискретного фильтра , имеет Z-преобразование:
.
2.4.3. Обратное z – преобразование
Обратное z-преобразование удобно использовать:
- при отыскании отклика дискретной системы на дискретный сигнал;
- при отыскании импульсной характеристики дискретной системы при известной ее передаточной функции.
Отыскание оригинала по заданному изображению производится с помощью обратного z – преобразования:
. (2.17)
Непосредственное вычисление интеграла (2.17) сложно или невозможно. Поэтому на практике обратное z-преобразование получают более простыми способами:
1. С использованием таблицы соответствий;
2. На основании теоремы Коши о вычетах;
3. Разложение изображения на простые дроби.
Для вычисления обратного z-преобразования с использованием таблицы соответствий в справочнике, содержащем таблицы оригиналов и соответствующих изображений, находят оригинал для заданного изображения: Таблица 2.1. Достоинством способа является отсутствие необходимости вычисления интеграла. Недостатком способа является ограниченное число изображений в таблице.
Таблица 2.1. Таблица соответствия
Последовательность | z-изображение | |
1. | ||
2. | ||
3. | ||
4. | ||
5. | ||
6. | ; ; ; . | |
7. | ; ; ; . |
Если z-изображение отсутствует в таблице соответствий, можно использовать разложение изображения на простые дроби. Например:
.
В этом случае, пользуясь свойством линейности z – преобразования и Таблицей 2.1 можно получить:
.
Вычисление обратного z – преобразования с использованием вычетов основано на теореме Коши: интеграл (2.17) вычисляется как сумма вычетов во всех особых точках (полюсах):
, (2.18)
где - вычет функции в k-ом полюсе .
Например, для изображения имеется один полюс . Поэтому для получения обратного z – преобразования необходимо вычислить только один вычет:
.
Дата добавления: 2020-08-31; просмотров: 1035;