Z – преобразование дискретных сигналов

2.4.1. Определение z – преобразования

При математическом описании дискретных сигналов в выражении для спектра важную роль играет функция , которая при преобразованиях возводится в целую степень . Однако эта функция является трансцендентной, что существенно усложняет спектральный анализ. Для упрощения анализа вводят новую переменную , которая связана с частотой выражением:

.

При такой замене спектр дискретизированного сигнала преобразуется в рациональную функцию переменной :

, (2.16)

где - оригинал - преобразования;

- - изображение функции .

Полученное выражение называется прямым - преобразованием.

- преобразование дискретных сигналов является частным случаем преобразования Лапласа для дискретизированных сигналов ( ).

Вводится для:

- полезно иметь дискретный аналог преобразования Лапласа, справедливый для более широкого класса сигналов;

- при аналитических исследованиях и расчетах пользоваться - преобразованием более удобно.

Пример z – преобразования

Пусть необходимо получить z – изображение дискретного единичного скачка:

В результате применения z – преобразования к дискретному единичному скачку можно получить:

.

Полученное выражение представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:

при .

Соответственно, z – изображение дискретного единичного скачка имеет вид:

.

2.4.2. Свойства z – преобразования

1. Линейность:

имеет z-преобразование .

2. Задержка:

Последовательность имеет Z-преобразование .

3. Обращение во времени:

Последовательность имеет z-преобразование .

4. Масштабирование:

Последовательность имеет z-преобразование .

5. Свертка:

Последовательность , характеризующая связь выходного сигнала через входной и импульсную характеристику дискретного фильтра , имеет Z-преобразование:

.

2.4.3. Обратное z – преобразование

Обратное z-преобразование удобно использовать:

- при отыскании отклика дискретной системы на дискретный сигнал;

- при отыскании импульсной характеристики дискретной системы при известной ее передаточной функции.

Отыскание оригинала по заданному изображению производится с помощью обратного z – преобразования:

. (2.17)

Непосредственное вычисление интеграла (2.17) сложно или невозможно. Поэтому на практике обратное z-преобразование получают более простыми способами:

1. С использованием таблицы соответствий;

2. На основании теоремы Коши о вычетах;

3. Разложение изображения на простые дроби.

Для вычисления обратного z-преобразования с использованием таблицы соответствий в справочнике, содержащем таблицы оригиналов и соответствующих изображений, находят оригинал для заданного изображения: Таблица 2.1. Достоинством способа является отсутствие необходимости вычисления интеграла. Недостатком способа является ограниченное число изображений в таблице.

Таблица 2.1. Таблица соответствия

	Последовательность	z-изображение
1.
2.
3.
4.
5.
6.		; ; ; .
7.		; ; ; .

Если z-изображение отсутствует в таблице соответствий, можно использовать разложение изображения на простые дроби. Например:

.

В этом случае, пользуясь свойством линейности z – преобразования и Таблицей 2.1 можно получить:

.

Вычисление обратного z – преобразования с использованием вычетов основано на теореме Коши: интеграл (2.17) вычисляется как сумма вычетов во всех особых точках (полюсах):

, (2.18)

где - вычет функции в k-ом полюсе .

Например, для изображения имеется один полюс . Поэтому для получения обратного z – преобразования необходимо вычислить только один вычет:

.