Преобразование Фурье дискретизированного сигнала

2.2.1. Ряд Фурье для непрерывных периодических сигналов

Непрерывная периодическая функция времени с периодом может быть представлена рядом Фурье:

, (2.5)

где - период дискретизации по частоте ;

- нормированная частота;

- коэффициенты Фурье в виде комплексных чисел.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формуле:

. (2.6)

В свою очередь, можно ввести следующую непрерывную периодическую функцию частоты с периодом , которая может быть представлена следующим рядом Фурье:

, (2.7)

где - период дискретизации по времени ;

- нормированное время, соответствующее абсолютному времени ;

- коэффициенты Фурье в виде комплексных чисел.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формуле:

. (2.8)

2.2.2. Преобразование Фурье для непрерывных непериодических сигналов

В результате предельного перехода при можно перейти от ряда Фурье (2.5)

к интегралу Фурье:

, (2.9)

где - спектральная плотность функции . (2.10)

2.2.3. Преобразование Фурье дискретизированного сигнала

Преобразование Фурье дискретизированного сигнала запишется в виде:

.

Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта – функции, получим:

. (2.11)

Спектр дискретизированного сигнала характеризуется двумя свойствами:

1) является непрерывной функцией частоты;

2) является периодической функцией частоты.

Соотношение (2.11) является одновременно:

- прямым преобразованием Фурье дискретизированного сигнала ;

- рядом Фурье непрерывной функции .

Поэтому коэффициенты ряда Фурье могут быть вычислены по известной формуле для коэффициентов ряда Фурье (2.6):

. (2.12)

Соотношение (2.12) является одновременно:

- обратным преобразованием Фурье для дискретного сигнала ;

- коэффициентом ряда Фурье непрерывной функции .

Таким образом, преобразованием Фурье дискретизированного сигнала называется пара взаимно однозначных преобразований:

прямое преобразование ;

и обратное преобразование .