В гармонический ряд Фурье

Из курса математики известно, что любая периодическая функция вре­мени f(t), удов­летворяющая условиям Дирихле, может быть представлена гар­моническим рядом Фурье:

.

Здесь А₀ – постоянная составляющая, - k-я гармониче­ская составляю­щая или сокращенно k-я гармоника. 1-я гармоника называется основной, а все последующие - выс­шими.

Амплитуды отдельных гармоник А_к не зависят от способа разложения функции f(t) в ряд Фурье, в то же время начальные фазы отдельных гармоник зависят от выбора начала отсчета времени (начала координат).

Отдельные гармоники ряда Фурье можно представить в виде суммы си­нусной и ко­си­нусной составляющих:

.

Тогда весь ряд Фурье получит вид:

.

Соотношения между коэффициентами двух форм ряда Фурье имеют вид:

.

Если k-ю гармонику и ее синусную и косинусную составляющие заменить ком­плекс­ными числами, то соотношение между коэффициентами ряда Фурье можно предста­вить в комплексной форме:

.

Если периодическая несинусоидальная функция времени задана (или мо­жет быть вы­ражена) аналитически в виде математического уравнения, то коэф­фициенты ряда Фурье оп­ределяются по формулам, известным из курса матема­тики:

,

,

,

.

На практике исследуемая несинусоидальная функция f(t) обычно задается в виде гра­фической диаграммы (графически) (рис. 118) или в виде таблицы ко­ор­динат точек (таблично) в интервале одного периода (табл. 1). Чтобы выпол­нить гармонический анализ такой функции по приведенным выше уравнениям, ее необходимо предварительно заменить математиче­ским выражением. Замена функции, заданной графически или таблично математическим уравнением, по­лучила название аппроксимации функции.

Т а б л и ц а 1

В настоящее время гармонический анализ несинусоидальных функций времени f(t) выполняется, как правило, на ЭВМ. В простейшем случае для ма­тематического представле­ния функции применяется кусочно-линейная аппрок­симация. Для этого вся функция в ин­тервале одного полного периода разбива­ется на M=20-30 участков так, чтобы отдельные уча­стки были по возможности ближе к прямым линиям (рис. 1). На отдельных участках функция аппроксими­руется уравнением прямой f_m(t)=a_m+b_m×_×t, где коэффициенты аппроксимации (a_m, b_m) определяются для каждого участка через координаты его конечных то­чек, например, для 1-го участка получим:

; .

Период функции Т разбивается на большое число шагов интегрирования N, шаг ин­тегрирования , текущее время t_i=h×i, где i - порядковый номер шага интегриро­вания. Определенные интегралы в формулах гармониче­ского анализа заменяются соответст­вующими суммами, их подсчет выполня­ется на ЭВМ по методу трапеций или прямоуголь­ников, например:

.

Для определения амплитуд высших гармоник с достаточной точностью число шагов интегрирования должно составлять не менее 100k, где k - номер гармоники.

В технике для выделения отдельных гармоник из несинусоидальных на­пряжений и токов применяют специальные приборы, называемые гармониче­скими анализаторами.