Нормальный закон распределения

Определение:Непрерывная случайная величина Х имеетнормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:

,

где m=M(X), σ²=D(X), σ>0.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис.7)

Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m, имеет максимум в т. х=а, равный _.

рис.7

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле:

,

где - функция Лапласа.

Замечание:Функция Ф(х) является нечетной (Ф(-х)=-Ф(х)), кроме того, при х>5 можно считать Ф(х) ≈1/2.

График функции распределения F(x) изображен на рис. 8

рис.8

Вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (a;b) вычисляются по формуле:

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ вычисляется по формуле:

В частности, при m=0 справедливо равенство:

«Правило трех сигм»

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значение заключены в интервале (a-3σ; a+3σ), т.к.

Задача №3. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 32 и дисперсией 16. Найти: а)плотность распределения вероятностей f(x); б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (28;38).

Решение: По условию m=32, σ²=16, следовательно, σ=4, тогда