Дифференциального уравнения

Режим нелинейной цепи любой сложности может быть описан системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Как из­вестно из математики, система дифференциальных уравнений (как линейных так и нелиней­ных) может быть решена методом чис­ленного интегрирования (методы Эйлера, Рунге-Кутта). Таким образом, режим любой нелинейной цепи может быть рассчитан методом численного интегриро­вания дифференциальных уравнений.

Рассмотрим применение этого метода на примере расчета схемы рис. 250. Пусть на входе схемы источник постоянной ЭДС E_m, а веберамперная характе­ристика нелинейной ка­тушки аппроксимирована уравнением i = a·sh(b·y).

Система дифференциальных уравнений, составленых для схемы цепи по законам Ома и Кирхгофа и дополненная нелинейным алгебраи­ческим уравне­нием аппроксимации ха­рактеристики нелинейного элемента будет иметь вид:

Решение этой системы уравнений может быть выполнено методами чис­ленного интег­рирования на ЭВМ (например, методом Эйлера). Суть метода со­стоит в том, что период пе­ременного тока Т разбивается на большое число ша­гов интегрирования, например N=1000, дифференциалы переменных заме­ня­ются конечными приращениями (dyÞDy, duÞDu, diÞDi, dtÞDt),апроиз­вод­ные переменных - отношением приращений (dy/dtÞDy/Dt, du/dtÞDu/Dt). На каждом шаге производится решение системы уравнений и определяются значе­ния переменных величин (токов, напряжений) и их производных, причем в ка­честве ис­ходных данных принимают значения некоторых переменных на пре­дыдущем шаге. В каче­стве таких функций принимают u_С(t), i_L(t),которые опре­деляют запасы энергии в электриче­ском и магнитном поле, вследствие чего они не могут изменяться скачкообразно. Непосред­ственным результатом расчета будут являться массивы значений переменных величин (токов, напря­жений) и их производных в заданном интервале времени (например, в течение времени переходного процесса Т_п). В результате последующей обработки массивов дан­ных могут быть определены все параметры функций.

Один из вариантов решения полученной системы уравнений методом численного ин­тегрирования представлен ниже.