Дифференциального уравнения


 

Режим нелинейной цепи любой сложности может быть описан системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Как из­вестно из математики, система дифференциальных уравнений (как линейных так и нелиней­ных) может быть решена методом чис­ленного интегрирования (методы Эйлера, Рунге-Кутта). Таким образом, режим любой нелинейной цепи может быть рассчитан методом численного интегриро­вания дифференциальных уравнений.

Рассмотрим применение этого метода на примере расчета схемы рис. 250. Пусть на входе схемы источник постоянной ЭДС Em, а веберамперная характе­ристика нелинейной ка­тушки аппроксимирована уравнением i = a·sh(b·y).

 


Система дифференциальных уравнений, составленых для схемы цепи по законам Ома и Кирхгофа и дополненная нелинейным алгебраи­ческим уравне­нием аппроксимации ха­рактеристики нелинейного элемента будет иметь вид:

 

 


Решение этой системы уравнений может быть выполнено методами чис­ленного интег­рирования на ЭВМ (например, методом Эйлера). Суть метода со­стоит в том, что период пе­ременного тока Т разбивается на большое число ша­гов интегрирования, например N=1000, дифференциалы переменных заме­ня­ются конечными приращениями (dyÞDy, duÞDu, diÞDi, dtÞDt),апроиз­вод­ные переменных - отношением приращений (dy/dtÞDy/Dt, du/dtÞDu/Dt). На каждом шаге производится решение системы уравнений и определяются значе­ния переменных величин (токов, напряжений) и их производных, причем в ка­честве ис­ходных данных принимают значения некоторых переменных на пре­дыдущем шаге. В каче­стве таких функций принимают uС(t), iL(t),которые опре­деляют запасы энергии в электриче­ском и магнитном поле, вследствие чего они не могут изменяться скачкообразно. Непосред­ственным результатом расчета будут являться массивы значений переменных величин (токов, напря­жений) и их производных в заданном интервале времени (например, в течение времени переходного процесса Тп). В результате последующей обработки массивов дан­ных могут быть определены все параметры функций.

Один из вариантов решения полученной системы уравнений методом численного ин­тегрирования представлен ниже.

Исходные данные: параметры элементов схемы (E, R1, R2, C, a, b);на­чальные условия uС(0)=0, y(0)=0.

Принимаем: N-число шагов интегрирования, Т – расчетное время пере­ходного про­цесса, h=Dt=T/N- шаг интегрирования.

Алгоритм решения системы для произвольного к-го шага:

tк = h·к;

из (5) i2к = a·sh(b·y(к-1));

из (2) i1к = (E -uC(к-1)) /R1;

из (1) i3к = i1к - i2к ;

из (3)(dy/dt) к = uC(к-1) - i2к R2;

из (4)(duС/dt) к = i3к / C;

yк= y(к-1) + h · (dy/dt) к;

uСк =uС(к-1) + h ·(duС/dt) к .

Метод численного интегрирования (численный метод) обладает высокой точностью, так как в нем непосредственно используются физические характе­ристики нелинейных эле­ментов. С появлением ЭВМ и расширением области их применения данный метод является основным при расчете нелинейных цепей как в переходном, так и в установившемся режиме.

 

 



Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 320;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.