Уравнения четырехполюсника

Четырехполюсником называется часть электрической цепи или схемы, содержащая два входных вывода (полюса) для подключения источника энергии и два выходных вывода для подключения нагрузки. К четырехполюсникам можно отнести различные по назначе­нию технические устройства: двухпровод­ную линию, двухобмоточный трансформатор, фильтры частот, усилители сиг­налов и др.

Теория четырехполюсников устанавливает связь между режимными па­раметрами на входе (U₁, I₁) и режимными параметрами на его выходе (U₂, I₂), при этом процессы, про­исходящие внутри четырехполюсника, не рассматрива­ются. Таким образом, единая теория четырехполюсника позволяет анализиро­вать различные по структуре и назначению элек­трические цепи, которые могут быть отнесены к классу четырехполюсников.

Если четырехполюсник не содержит внутри себя источников энергии, то он назы­вается пассивным (обозначается буквой П), если внутри четырехполюс­ника имеются ис­точники, то он называется активным (обозначается буквой А).

В настоящей главе анализируются пассивные линейные четырехполюс­ники. На электрических схемах четырехполюсники условно обозначаются пря­моугольником с двумя парами выводов: 1 и 1' - входные выводы, 2 и 2' - вы­ходные выводы (рис. 1). Соответст­венно напряжение и ток на входе индекси­руются цифрой 1 (U₁, I₁) , а на выходе - цифрой 2 (U₂, I₂).

Установим связь между параметрами режима входа (U₁, I₁) и выхода (U₂, I₂). Для этой цели согласно теореме о компенсации заменим нагрузку Z₂ источ­ником ЭДС Е₂ = U₂ = I₂Z₂ и найдем токи по методу наложения от каждого ис­точника в отдельности (рис. 156а, б):

,

где Y₁₁, Y₂₂ – входные проводимости входа и выхода, Y₁₂ = Y₂₁ – взаимная проводимость между входом и выходом.

Выразим из полученных уравнений режимные параметры на входе:

,

где ; [Ом]; [См]; – комплекс­ные коэффициенты четырехполюсника.

С учетом принятых обозначений система основных уравнений четырех­полюсника получит вид:

	U1 = A·U2 + B·I2 I1 = C·U2 + D·I2		- система основных уравнений четырехполюсника формы А.

Уравнения четырехполюсника часто записывают в матричной форме:

или ,

где - матрица коэффициентов формы А.

Выразим соотношение между коэффициентами четырехполюсника:

A·D - B·C=1 – уравнение связи между коэффициентами. Уравнение связи показы­вает, что независимыми являются только три из четырех коэффициентов четырехполюс­ника.

Поменяем местами в схеме рис. 155 источник и приемник энергии. В новой схеме рис. 157 направления токов изменятся на противоположные.

Уравнения четырехполюсника с учетом изменения направлений токов примут вид:

Преобразуем полученную систему уравнений следующим образом. Ум­ножим члены уравнения (1) на D, члены уравнения (2) на В и вычтем почленно из 1-го уравне­ния 2-ое. В результате получим:

D·U₁ + B·I₁ = (A·D - B·C)·U₂ + (B·D - B·D)·I₂ = U₂.

Умножим члены уравнения (1) на С, члены уравнения (2) на А и вычтем из 1-го уравнения 2-ое. В результате получим:

C·U₁ + A·I₁ = (A·C - A·C)·U₂ + (A·D - B·C)·I₂ = I₂

Новая система уравнений четырехполюсника получила название формы В:

	U2 = D·U1 + B·I1 I2 = C·U1 + A·I1		-система основных уравнений четырехполюсника формы B

Четырехполюсник называется симметричным, если перемена местами входных и выходных выводов не влияет на режим остальной цепи, частью ко­торой является четырёх­полюсник. Для симметричного четырёхполюсника А=D и A² - B·C=1.

Кроме названных форм уравнений четырехполюсника А и В применя­ются на прак­тике еще четыре формы, а именно формы Z, Y, H и G. Структура этих уравнений приведена ниже:

	U1 = Z11·I1 + Z12·I2 U2 = Z21·I1 + Z22·I2		-система основных уравнений четырехполюсника формы Z.
	I1 = Y11·U1 + Y12·U2 I2 = Y21·U1 + Y22·I2		-система основных уравнений четырехполюсника формы Y.
	U1 = H11·I1 + H12·U2 I2 = H21·I1 + H22·U2		-система основных уравнений четырехполюсника формы H.
	I1 = G11·U1 + G12·I2 U2 = G21·U1 + G22·I2		-система основных уравнений четырехполюсника формы G.

Для уравнений формы Z, Y, H и G принята следующая ориентация токов и напряже­ний относительно выводов четырехполюсника (рис.158).

Соотношения между коэффициентами четырехполюсника различных форм приво­дятся в справочной литературе, однако их нетрудно получить, вы­полнив преобразование одной формы уравнений в другую. Например, пусть за­даны коэффициенты формы А (А, В, С, D) и требуется определить коэффици­енты формы Z(Z₁₁, Z₁₂, Z₂₁, Z₂₂). Для этого в уравне­ниях формы A изменим знак тока I₂ и решим их относительно переменных U₁ и U₂:

U₁ = A·U₂ - B·I₂ (1)

I₁ = C·U₂ - D·I₂ (2)

Из (2) следует: .

Из (1) следует: .

Сравнивая полученные выражения с уравнениями четырехполюсника формы Z, на­ходим соотношения между коэффициентами двух форм: