Дифференциальные уравнения цепи с распределенными параметрами

Рассмотрим двухпроводную однородную линию, физические параметры которой рав­номерно распределены по ее длине:

― активное сопротивление пары проводов на единицу длины [Ом/м], определяется по известной формуле , зависит от материала про­вода (γ ) и от ее температуры ;

― индуктивность пары проводов на единицу длины линии [Гн/м], оп­ределяется как отношение потокосцеплепия к току ( ), является ото­бражением магнитного поля ли­нии в ее схеме замещения, зависит от магнитных характеристик среды (μ) и геометрических размеров линии;

― активная проводимость между проводами на единицу длины линии [См/м], яв­ляется следствием несовершенства изоляции между проводами, зави­сит от электрических па­раметров среды (γ) и геометрических размеров линии;

― емкость между проводами на единицу длины линии [Ф/м], опреде­ляется как от­ношение заряда к напряжению( ), является отображением электрического поля линии в ее схеме замещения, зависит от электрических ха­рактеристик среды (e) и геометрических размеров линии.

Удельные параметры линии зависят от физических парамет­ров самих проводов и окружающий их среды, поэтому они получили название физических или первич­ных.

Разделим всю линию на элементарные участки длиной dх и рассмотрим один из таких участков, находящийся на расстоянии х от начала линии. Схема замещения участка будет иметь вид рис.1.Здесь u и i ― напряжение и ток в на­чале рассматриваемого участка. В конце участка напряжение и ток получают приращения: и .

Функции напряжения и тока ( u, i ) зависят от двух параметров t и x, они изменяются в пространстве и во времени, поэтому дифференциальные уравне­ния для схемы замещения следует составлять в частных производных.

Уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контура:

.

После упрощения получим:

(1).

По закону Ома и 1-му закону Кирхгофа:

В приведенном выражении пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости, со­держащими .

По 1-му закону Кирхгофа для узла:

После упрощения получим:

- (2).

Уравнения (1) и (2) являются основными дифференциальными уравне­ниями двухпро­водной линии с распределенными параметрами, которые исполь­зуются для расчета как переходного, так и установившегося режима линии.

3. Решение уравнений линии с распределенными параметрами в устано­вившемся сину­соидальном режиме

Пусть напряжение и ток в линии с распределенными параметрами изме­няются по синусоидальному закону:

,

.

Заменим в дифференциальных уравнениях линии синусоидальные функ­ции и и их производные и соответствующими комплексными изображениями , , , :

(1)

(2)

В уравнениях (1) и (2) приняты обозначения: - ком­плексное сопро­тивление линии на единицу длины [Ом /м], - комплексная проводимость линии на единицу длины [См /м].

Дифференцируем уравнение (2) по переменной х и делаем в него подста­новку из (1):

или

(3)

Решаем дифференциальное уравнение 2-го порядка (3) классическим ме­тодом. Характеристическое уравнение и его корни:

, откуда - - , + + .

Решение для искомой функции в общем виде:

,

где - безразмерная ком­плексная вели­чина, названная коэффициентом (постоянной) распространения, - комплексные постоянные интегрирования, которые определяются через граничные условия, т. е. через зна­чения искомых функций U(x), I(x) в за­данной точке линии, например в ее начале (х=0) или в ее конце (x=l).

Из уравнения (1) находим:

где ― волновое или характери­стическое сопро­тивление линии.

Таким образом, решения для искомых функций U(x) и I(x) имеют вид:

, (4)

. (5)

Волновое сопротивление и постоянная распространения получили название вторичных параметров линии.

Выразим постоянные интегрирования и через граничные условия начала линии. При х=0 , , подставим эти значения в уравне­ния (4) и (5):

Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегрирова­ния: , .

Подставим полученные значения постоянных интегрирования в решения для искомых функций (4) и (5):

Полученные уравнения используются при расчетах цепей с распределен­ными пара­метрами в установившемся синусоидальном режиме.

Если принять х=l ,то получим значения параметров режима в конце ли­нии:

Выразим постоянные интегрирования через граничные условия конца ли­нии. Для этой цели в полученных ранее решениях (4) и (5) заменим переменные х на l-y из условия x=l-y, где l ― длина всей линии, а y ― расстояние от конца линии до рассматриваемой точки:

,

.

Здесь есть некоторые новые постоянные интегри­рования.

При y=0 , подставим эти значения в найденные урав­нения, получим:

Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегриро­вания:

,

Подставляем значение постоянных в решение для искомых функций:

Полученные уравнения используются при расчете цепей с распределен­ными пара­метрами в установившемся синусоидальном режиме.

Если принять y=l , то получим значение параметров режима в начале ли­нии:

4. Волновые процессы в линии с распределенными параметрами.

Ранее были получены решения для напряжения и тока в установившемся режиме:

,

.

Учитывая, что постоянные интегрирования и коэффициент распростране­ния являются комплексными числами ( , , ) преобразуем уравнение для U(x):

.

Перейдем от комплексного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к ее функции времени:

.

Функция u(x,t) состоит из двух слагаемых, первое из которых представ­ляет собой пря­мую или падающую волну u_п(x,t), а второе - обратную или отра­женную волну u_о(x,t). Про­анализируем, как изменяется каждая из волн в про­странстве и во времени.

Падающая волна напряжения равна: .

В произвольной точке линии напряжение изменяется по сину­соидальному закону с постоянной амплитудой:

,

где , .

В произвольно выбранный момент времени напряжение вдоль линии изменяется по синусоидальному закону, но с затуханием ампли­туды с увеличением расстоя­ния х:

,

где , .

Коэффициент β показывает, как изменяется фаза падающей волны напря­жения на еди­ницу длины линии [рад/м] и называется коэффициентом фазы.

Длиной волны λ называется расстояние ∆х между двумя ближайшими точками линии, которые находятся в одинаковом фазовом состоянии, т.е. через интервал 2π:

β∆x = βλ = 2π, откуда следует .

С течением времени синусоидальное распределение напряжения переме­щается вдоль линии. Под скоростью распространения волны или фазовой ско­ростью понимают скорость перемещения вдоль линии определенного фазового состояния, для чего должно удовлетво­ряться условие: .

Продифференцируем члены этого уравнения, в результате полу­чим: , от­куда следует:

Неравенство > 0 означает, что падающая волна перемещается в поло­жительном в направлении, т. е. от начала линии к ее концу.

Амплитуда падающей волны зависит от координаты х: , она

убывает (затухает) по показательному закону в направление возрас­тания х, т.е. в направлении движения волны. Скорость затухания определяется коэффициентом α, который получил название коэффициента затухания волны [Неп/м].

Коэффициент показывает в комплексе характер изменения волны при движении ее вдоль линии, поэтому получил название коэффициента распространения волны.

Характер распространения падающей волны напряжения пока­зан на рис. 179.

Отраженная волна напряжения равна:

,

Фазовая скорость отраженной волны найдется из уравнения:

После дифференцирования получим: , откуда следует

Отраженная волна распространяется с той же фазовой скоростью, что и падающая, но в обратном направлении (знак минус), т.е. от конца линии к ее началу. Она имеет ту же длину волны . Амплитуда отраженной волны , при α > 0 убы­вает ( затухает ) в направлении уменьшения координаты х , т.е. в направлении движения волны.

Характер распространения отраженной волны показан на рис. 180.

Действительное значение напряжения в любой точке лини х’ в любой мо­мент времени t’ будет равно сумме значений напряжений падающей и отражен­ной волн:

.

Очевидно, что функцию тока в линии также можно рассматри­вать как резуль­тат наложение падающей и отраженной волн стой лишь разницей, что от­раженная волна накладывается с обратным знаком:

.

5. Линия с распределенными параметрами в различных режимах

Расчет токов и напряжений в линии с распределенными параметрами при произволь­ной нагрузке на основе совместного решения получен­ных ранее комплексных уравнений. Уравнения режима линии дополняются уравнениями закона Ома для начала и конца линии:

где Z₁ - входное сопротивление линии при заданной нагрузке:

Выбор алгоритма расчета определяется конкретными условиями задачи. Рассмотрим характерные режимы линии, представляющие теоретический инте­рес.

1.Режим холостого хода .

В режиме холостого хода ; , следовательно урав­нения линии получат укороченный вид:

Входное сопротивление линии в режиме холостого хода:

.

2.Режим короткого замыкания .

В режиме короткого замыкания , , следовательно уравнения линии получат указанный вид:

Входное сопротивление линии в режиме короткого замыкания:

.

Совместно выполненные опыты холостого хода и короткого замыкания позволяют экспериментально определить сначала вторичные параметры линии ( и ), а затем и пер­вичные (R₀, L₀, G₀, C₀).

Входные сопротивления линии и экспериментально измеряются по схеме трех приборов (амперметра, вольтметра и фазометра), как .

Вторичные параметры линии (Z_C и g) находятся из совместного решения уравнений для и :

;

Первичные параметры линии (R₀, L₀, G₀, C₀) определяются из совместного решения уравнений для и :

,

Решая совместно эти уравнения, получим:

, .

3.Режим согласованной нагрузки .

В режиме согласованной нагрузки входное сопротивление линии равно:

.

Исследуем волновые процессы в линии:

В режиме согласованной нагрузки в линии отсутствуют отраженные волны напряже­ния и тока. Вся энергия, доставляемая падающей волной в конец линии полностью потребля­ется нагрузкой, при этом передаваемая приемнику активная мощность имеет максимальное значение:

.

Мощность источника энергии: .

Коэффициент полезного действия: .

Если сопротивление нагрузки несогласованно с волновым сопротивле­нием линии , то часть энергии, доставляемой падающей волной, отра­жается и возвращается ге­нератору в виде отраженных волн напряжения и тока.

В линиях связи отраженные волны ухудшают качество основного сигнала (снижается разборчивость речи, четкость изображения и др.). Все линии связи работают в режиме, близ­ком к согласованному. При различии сопротивлений нагрузки и линии принима­ются специальные технические меры для их согласования.

В линиях электропередачи согласование режима не требуется, так как в них основным критерием является передача энергии с наименьшими потерями.