Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа в общем виде выглядит следующим образом:

, (3.2.1)

Пусть в соответствии с вариантом задания исходная функция задана в виде значений в диапазоне ячеек B7:C10, рис. 3.2.1.

Тогда выражение 3.2.1 примет вид

(3.2.2)

В ячейках D19:H19оформим шапку таблицы вычисления слагаемых формулы 3.2.2, как показано на рис. 3.2.1.

Рис. 3.2.1

Вычислим слагаемые формулы 3.2.2, для чего:

– в ячейку E20запишем арифметическое выражение, соответствующее первому слагаемому формулы 3.2.2 при этом значения аргументов x₀, x₁,x₂,x₃, y₀ взяты из ячеек диапазона B7:B10 и ячейки C7, в абсолютной адресации, а значение аргумента x взято из ячейки A20 в относительной адресации

=$C$7*(A20-$B$8)*(A20-$B$9)*(A20-$B$10)/($B$7-$B$8)/($B$7-$B$9)/($B$7-$B$10) ;

– в ячейку F20запишем арифметическое выражение, соответствующее второму слагаемому формулы 3.2.2 при этом значения аргументов x₀, x₁,x₂,x₃, y₁ взяты из ячеек диапазона B7:B10 и ячейки C8, в абсолютной адресации, а значение аргумента x взято из ячейки A20 в относительной адресации

=$C$8*(A20-$B$7)*(A20-$B$9)*(A20-$B$10)/($B$8-$B$7)/($B$8-$B$9)/($B$8-$B$10);

– в ячейку G20запишем арифметическое выражение, соответствующее третьему слагаемому формулы 3.2.2 при этом значения аргументов x₀, x₁,x₂,x₃, y₂ взяты из ячеек диапазона B7:B10 и ячейки C9, в абсолютной адресации, а значение аргумента x взято из ячейки A20 в относительной адресации

=$C$9*(A20-$B$7)*(A20-$B$8)*(A20-$B$10)/($B$9-$B$7)/($B$9-$B$8)/($B$9-$B$10);

– в ячейку H20запишем арифметическое выражение, соответствующее четвёртому слагаемому формулы 3.2.2 при этом значения аргументов x₀, x₁,x₂,x₃, y₃ взяты из ячеек диапазона B7:B10 и ячейки C10, в абсолютной адресации, а значение аргумента x взято из ячейки A20 в относительной адресации

=$C$10*(A20-$B$7)*(A20-$B$8)*(A20-$B$9)/($B$10-$B$7)/($B$10-$B$8)/($B$10-$B$9).

В ячейку D20 запишем сумму четырёх слагаемых в соответствии с формулой 3.2.2, то есть

=E20+F20+G20+H20 .

Полученное в ячейке D20 значение -12.2857и есть результат вычисления интерполяционного полинома Лагранжа L₃(x) для аргумента x = 0.

Выделим диапазон ячеек D20:H20 и скопируем законы преобразования информации в них до D37:H37 включительно.

Появившиеся в диапазоне ячеек D20:D37 значения, и есть значения интерполяционного полинома Лагранжа L₃(x), вычисленные на спектре значений аргумента x диапазона ячеек A20:A37, (x Î[0;8.5]), рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.2

Полное совпадение значений диапазонов ячеек B20:B37 (канонический полином P₃(x)) и D20:D37 (интерполяционный полином Лагранжа L₃(x)), является доказательством правильности полученного решения варианта задания.

Выделим диапазон ячеек D37:H37 и скопируем законы преобразования информации в них в ячейки D39:H39.

Тогда в ячейке D39 отобразится результат вычисления значения интерполяционного полинома Лагранжа L₃(x) = 10.35, при x = 2.372, рис. 3.2.2.

Совпадение значений ячеек B39 и D39 подтверждает правильность вычислений.

Для вычисления значений интерполяционного полинома Лагранжа L₃(x) в среде VBA необходимо предварительно создать модуль VBA