Дифференциальный принцип механики на виртуальных перемещениях: принцип Даламбера – Лагранжа.

Дифференциальный принцип механики на Возможных (виртуальных) перемещениях применяют для нахождения движения системы. Принцип дает возможность написать дифференциальные уравнения движения системы в случаях, когда элементарная работа всех сил контактного взаимодействия системы равна нулю:

В таком случае говорят, то есть при идеальных связях.

В этом случае из дифференциального принципа следует, что

сумма элементарных работ всех активных сил и всех сил инерций системы равна нулю на любых виртуальных перемещениях системы:

Эту форму дифференциального принципа называют принцип Даламбера - Лагранжа.

Используя уравнения связей, вектор положения точек тела и его вариацию можно выразить через обобщенные координаты и их виртуальные перемещения .

Поэтому принцип Даламбера - Лагранжа можно представить в следующем виде:

где .

В силу независимости и произвольности виртуальных перемещений , уравнение дифференциального принципа распадаются на n уравнений

Эти уравнения есть дифференциальные уравнения движения системы тел с идеальными связями в обобщенных координатах.

Они не включают неизвестные силы контактных взаимодействий.

Для системы поступательно движущихся тел (материальных точек) принцип запишется в виде:

Консервативнаясистема. Положения равновесия консервативных систем.

Консервативная система имеет геометрические стационарные связи, сумма элементарных работ сил реакций идеальных связей равна нулю, а все работающие силы потенциальны.

Положения равновесия определяются свойствами сил взаимодействий и виртуальными перемещениями в этих положениях.

А именно: в каждом положении равновесия равны нулю виртуальные работы силового поля и сил реакций связей на любых виртуальных перемещениях:

.

Это свойство сил взаимодействий примем за определение положений равновесия.

Так как для потенциальных сил в положениях равновесия виртуальную работу активных сил можно выразить через дифференциал потенциальной энергии, то есть

то равенство нулю полного дифференциала потенциальной энергии , означает, что положения равновесия доставляют экстремум потенциальной энергии.

Следующее определение положений равновесия консервативной системы тождественно предыдущему.

Положениями равновесияконсервативной системы с идеальными связями называются такие положения системы , совместимые со связями, в которых потенциальная энергия системы U принимает экстремальные значения:

Это определение не связано с движениями системы, и, таким образом, не зависит от начальных состояний системы (начальных положений и начальных скоростей тел).

Так как связи системы идеальны, то из принципа Даламбера – Лагранжа следует, что на движениях системы в положениях равновесия равна нулю и виртуальная работа сил инерций.

Пример 1. Математический маятник: материальная точка М движется по части окружности в вертикальной плоскости. В нижней точке, , равны нулю виртуальные работы силы тяжести и силы реакции нити. Это есть положение равновесия. маятника. Так как скорость точки в положении равновесия имеет максимум, то касательное ускорение в нем равно нулю. Поэтому сила инерции точки, определяемая нормальным ускорением, перпендикулярна виртуальному перемещению и не работает на нем.

Заметим, что на границе интервала виртуальная работа силы тяжести (и силы инерции) не равны нулю, поэтому граница интервала не есть положение равновесия, хотя потенциальная энергия маятника в ней имеет максимум.

Пример 2. Сферический маятник: материальная точка подвешена на нити в точке О, центре сферы. Хотя сила тяжести и сила реакции нити не работают на элементарных перемещениях, векторы которых являются касательными векторами к параллелям сферы, однако они работают на виртуальных перемещениях, касательных к меридианам сферы. В нижней точке сферы эти силы не работают на всех виртуальных перемещениях, поэтому нижняя точка сферы есть положение равновесия маятника.

Пример 3. Система состоит из однородного тонкого стержня АВ с массой М и груза D с массой , соединенного со стержнем невесомой нитью. При гладкости плоскостей консервативная система с одной степенью свободы имеет идеальные связи. При произвольных массах тел в системе нет положений равновесия. Но если , то все положения системы, допустимые связями , есть безразличные положения равновесия. Это видно из принципа виртуальных перемещений, который можно записать в следующем виде: