Анализ возможностей уменьшения целевой функции
Для заключения о возможности дальнейшего улучшения решения необходимо проанализировать вид функции (8.12). Исследование возможности уменьшения целевой функции сводится к анализу строки коэффициентов и может дать следующие результаты:
1. Все компоненты вектора положительны. Это означает, что дальнейшее улучшение целевой функции невозможно и рассматриваемое базисное решение является единственно возможным: при .
2. Некоторые коэффициенты . В этом случае увеличение соответствующих переменных уменьшает целевую функцию. Наибольший эффект будет в том случае, когда выбирается переменная , соответствующая максимальному по модулю отрицательному коэффициенту: . В алгоритме принимается стратегия, при которой варьируется только одна независимая переменная (движение по грани). При этом все остальные независимые переменные остаются равными нулю.
Границы изменения
Увеличение переменной связано с изменением всех зависимых (базисных) переменных (8.10). Некоторые из них будут уменьшаться. Увеличивать переменную можно лишь до той поры, пока одна из зависимых переменных в системе не перейдет через ноль.
Поскольку на этом шаге симплекс–метода все независимые переменные за исключением (это лишь обозначение некоторой реальной переменной ) равны нулю, то система ограничений может быть представлена в более простом виде:
. | (8.13) |
Зависимости показаны на рис. 8.2.
На рассматриваемом этапе возможны две ситуации:
1. Все . Увеличение ведет к увеличению всех зависимых переменных (по аналогии с прямой на рис. 8.2) . Поскольку стандартная задача линейного программирования не содержит ограничений по максимальному значению переменных, то можно увеличивать до бесконечности и целевая функция будет при этом уменьшаться до минус бесконечности. Эта ситуация приводит к окончанию работы симплекс–метода с результатом
.
2. Среди компонент есть положительные. Это значит, что с увеличением некоторые зависимые переменные уменьшаются и при достижении определенной величины первая из них ( на рис. 8.2) пересекает ноль, сигнализируя о невозможности дальнейшего увеличения независимой переменной.
Рис. 8.2. Поведение зависимых переменных |
Рассмотрим этот случай более подробно. Для этого формируется столбец:
.
Очевидно, что минимальная компонента этого столбца определяет максимально возможное изменение варьируемой переменной, и номер базисной переменной , которая первой пересекает ноль при увеличении ;
Переменная в дальнейшем не может рассматриваться в качестве независимой переменной. Ее необходимо перевести в класс зависимых переменных. За счет какой другой переменной? Вероятно за счет той, ранее зависимой переменной , что стала равной нулю, и которую, возможно, следует увеличить.
Совершенно очевидно, что при полученном ограничении все остальные независимые переменные останутся положительными. Действительно, если подставить значение в систему (8.13), то получим:
т.к. .
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 451;