Аргумент комплексного числа.

Комплексные числа, которые имеют один и тот же модуль r, ІzІ= r, соответствуют точкам комплексной плоскости, которые расположены на окружности радиуса r, с центром в точке z=0. То есть, если r ≠0 , то существует множество комплексных чисел з данным модулем r. Модуль, который равен нулю, имеет только единственное комплексное число z=0.

Для того, чтобы с множества комплексных чисел с данным модулем выделить какое то конкретное число, достаточно задать направление вектора z (например, задать угол).

Аргументом комплексного числа z ≠0 называется угол, который образован положительным направлением действительной оси и вектором z. Причем угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки и отрицательным, если отсчет идет по часовой стрелке.

Для обозначения аргумента комплексного числа z, используется запись arg z.

Заданием модуля и аргумента, комплексное число определяется однозначно.

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга числом кратным 2П.

Для вычисления аргумента комплексного числа: z=а+bi, используют формулы:

; ; (6)

Для определения аргумента комплексного числа необходимо учитывать четверть (квадрант) в которой находится число.

Пример 1.

Найти аргумент чисел: ;

Решение:

Сначала найдем модули данных комплексных чисел (формула (2))

; .

По формулам (6) найдем аргументы. Так как комплексное число находится в І четверти, а число находится в ІІІ четверти, то углы будем определять соответственно четверти.

; значит .

, .