Арифметические действия над комплексными числами

z₁∙z₂ = r₁(cosj₁ + isinj₁)×r₂(cosj₂ + isinj₂) =
= r₁r₂(cosj₁cosj₂ + icosj₁sinj₂ + isinj₁cosj₂ + i² sinj₁sinj₂) =
= r₁r₂((cosj₁cosj₂ – sinj₁sinj₂) + i(cosj₁sinj₂ + sinj₁cosj₂))

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме (6)

то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Например,

Основные свойства умножения комплексных чисел:

1) z₁×z₂ = z₂×z₁ — коммутативность;

2) z₁×z₂×z₃ = (z₁×z₂)×z₃ = z₁×(z₂×z₃) — ассоциативность;

3) z₁×(z₂ + z₃) = z₁×z₂ + z₁×z₃ — дистрибутивность относительно сложения;

4) z×0 = 0; z×1 = z; — умножение на ноль и на единицу;

5) — умнож. компл. сопряж.

чисел.

Деление комплексных чисел— это обратная умножению операция, поэтому если z×z₂ = z₁ и z₂ ¹ 0, то .

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

Деление комплексных чисел в алгебраической форме . (5)

При выполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются:

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме . (6)

Например, 1) ;

2) .

Возведение комплексного числа в натуральную степень:

возведение комплексного числа в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:

в результате получается формула Муавра:

Формула Муавра, (7)

то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Например, вычислим (1 + i)¹⁰:

Замечание(к операциям умножения и возведения в натуральную степень комплексных чисел)

При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов за пределами одного полного оборота. Но их всегда можно свести к углам или отбрасыванием целого числа полных оборотов по свойствам периодичности функций и .