Нелинейное уравнение с одной переменной
Пусть требуется найти решение нелинейного уравнения с одной переменной. Функция раскладывается в степенной ряд в окрестности точки :
где ; означает, что значения производных функции взяты в точке . Если ограничиться двумя членами ряда, то можно найти такое значение , которое обращает в ноль линейную аппроксимацию исходной функции :
=0 .
Это выражение позволяет записать рекуррентное соотношение
. | (6.1) |
На рис. 6.1 представлена графическая интерпретация метода Ньютона. Следующее приближение переменной определяется точкой пересечения касательной к функции f(x) с осью абсцисс.
Пример. Методом Ньютона получить решение нелинейного уравнения . Точные решения этого уравнения . Однако их требуется найти. Для расчетов методом Ньютона необходимо знать .
Рис. 6.1. Метод касательных |
Решение (3 шага) для двух начальных приближений аргумента (для получения двух корней уравнения) записано в табл. 6.1, 6.2.
Таблица 6.1
k | ||||
=10-66/17=6,12 | ||||
6,12 | 15,07 | 9,24 | 4,48 | |
4,48 | 2,66 | 5,97 | 4,04 | |
4,04 | 0,2016 | 5,08 | 4,00 |
Таблица 6.2
k | ||||
-10 | -23 | -4,52 | ||
-4,52 | 30,01 | -12,04 | -2,03 | |
-2,03 | 6,21 | -7,06 | -1,15 | |
-1,15 | 0,77 | -5,3 | -1 |
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 510;