Тепловые коэффициенты и тепловые сопротивления
На рис. 1 изображено сечение сплошного тела и показаны следы двух изотермических поверхностей Si, Sj, имеющих температуры в данный момент времени ti,, tj,. Линии, перпендикулярные к изотермическим поверхностям, являются линиями теплового потока, на рис. 1 эти линии обозначены стрелками. Через единицу площади изотермической поверхности проходит тепловой поток q, который называется удельным тепловым потоком, или плотностью теплового потока; например, плотности тепловых потоков через поверхности iиjравны:
Теплообмен кондукцией происходит согласно закону Фурье: плотность теплового потока q прямо пропорциональна градиенту температуры, т. е.
где l — коэффициент теплопроводности материала; — градиент температуры.
Напомним, что за положительное направление градиента температуры принимают направление, в котором температура возрастает.
Запишем закон Фурье для некоторой изотермической поверхности Sl, находящейся между поверхностями i и j (рис. 1). Буквой l обозначена координата поверхности Sl, отсчет ведется от какой-либо точки 0, координатная линия l совпадает с линией тока. Тогда выражение (3) можно записать в виде
Объединим зависимости (2) и (4):
где Р (l) — величина потока, через изотермическую поверхность S (l).
Произведем интегрирование последнего выражения от ti до tj :
где li и lj — координаты изотермических поверхностей i и j.
Сравнивая выражения (1) ti — tj = FijPi и (5), получим структуру коэффициента пропорциональности Fij при кондуктивном переносе тепловой энергии:
Если между изотермическими поверхностямиiиj отсутствуют стоки или источники энергии, то Р(l) не изменяется на пути между этими поверхностями, т. е. Р (l) =Pi = const, то Fij - называется тепловым сопротивлением, обозначается Rij и выражение (6) приобретает вид
Заметим, что источниками энергии могут быть дискретные или распределенные между i и j источники джоулева тепла; стоки энергии могут быть обусловлены эффектом Пельтье, химическими реакциями и т. п. К стокам энергии можно также отнести потери тепла на границах тела между изотермами iи j.
Величина, обратная тепловому сопротивлению, называется тепловой проводимостью:
(8)
Если S, λ = const, то
Известная зависимость для теплового потока в конечных разностях принимает вид:
или разность температур можно найти как
2. Уравнения теплопроводности и краевые условия.
Предположим, что температурное поле изменяется только в направлении x (рис.2).
Рассмотрим элементарный объем dV = S*dx, где S – площадь, а dx – толщина элементарного объема. (Например, участок электрического кабеля). Пусть q1 –плотность теплового потока в сечении x, а q2 -в сечении x+dx; если dx мало, то в первом приближении изменение теплового потока в направлении оси x описывается двумя членами разложения q1 в ряд Тейлора:
Найдем разность Q между входящими и выходящими количествами теплоты через поверхности S за время dτ:
Сформулируем закон сохранения энергии для рассматриваемого элемента.
Количество теплоты Q вместе с энергией Qv= qv dx S dτ внутренних источников расходуется на изменение температуры dt объема Sdx:
где qv- объемная плотность теплового потока, Вт/м3; cp- удельная теплоемкость при постоянном давлении; ρ – плотность материала;
Подставим в последнее уравнение значение q из формулы Фурье (4) и после преобразований получим уравнение теплопроводности
Для трехмерного тела уравнение принимает вид
Для анизотропного тела в направлении осей x, y, z теплопроводности λx, λy, λz имеют различные значения и дифференциальное уравнение принимает вид
Для изотропного тела λx, λy, λz равны λ и уравнение теплопроводности переписывается в виде
где a=λ/(cp ρ)- коэффициент температуропроводности вещества;
В стационарном режиме (∂t/∂τ=0) уравнение принимает вид
Если внутренние источники тепла отсутствуют, то
Путем преобразования системы координат дифференциальное уравнение для анизотропных тел (14) можно записать в форме (15).
В зависимостях (18) λ - так называемая базовая теплопроводность, выбор которой произволен; обычно за λ принимают одно из трех значений теплопроводностей: λx, λy, или λz. Произведем некоторые преобразования и подставим новые значения координат (18) в уравнение (15)
Уравнение (14) после преобразований принимает вид аналогичный по форме (15).
Краевые условия. Для решения дифференциального уравнения необходимо задать условия однозначности. Они включают в себя:
- граничные условия (ГУ), определяющие характер тепловых связей рассматриваемого тела с соседними телами и средой;
- в случае нестационарной задачи (∂t/∂τ ≠0) необходимо знать начальные условия, т.е значение температурного поля t0(x, y, z) в начальной точке времени τ = τ0 рассматриваемого процесса.
Существует четыре вида ГУ.
· ГУ 1 рода (задача Дирихле). Задается распределение температур на поверхности тела для каждого момента времени ts = f(x, y, z, τ). В частном случае ts =const.
·
ГУ 2 рода (задача Неймана). Задано распределение плотности теплового потока в любой момент времени qs = f(x, y, z, τ):
где -λ(∂t/∂n) - плотность теплового потока, уходящего вглубь тела.
· ГУ 3 рода. Задана температура окружающей среды tc и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. На основании закона Ньютона - Рихмана плотность теплового потока на границе тело-среда
К поверхности тела за счет теплопроводности подходит тепловой поток, плотность которого определяется законом Фурье. Если на границе раздела отсутствуют источники или стоки энергии то
·
ГУ 4 рода. Характеризуют граничные условия в виде теплового контакта между твердыми телами при идеальном контакте между ними. Математическая формулировка ГУ 4-го рода при отсутствии источников или стоков тепла на границе раздела заключается в следующем:
Дифференциальное уравнение теплопроводности и его условия однозначности дают полную математическую формулировку задачи.
3. Конвективный перенос тепла. Основы теории подобия.
Теплообмен между поверхностью S твердого тела и окружающей его жидкой или газообразной средой подчиняется закону Ньютона—Рихмана:
где Рic—тепловой поток от поверхности твердого тела к среде;
Si — площадь поверхности теплообмена тела; αic — коэффициент теплообмена между поверхностью тела и средой;tiи tc — температуры поверхности тела и среды.
Вспомним, что ti — tj = FijPi , отсюда находим структуру теплового коэффициента Fic = 1/ αic Si. Если между поверхностью тела и окружающей его средой отсутствуют источники или стоки энергии, то величина теплового потока Рic при движении от изотермической поверхности с температурой ti к среде с температурой tj не изменяется и поэтому Fic можно считать тепловым сопротивлением, т. е.
Вся сложность процесса конвективного теплообмена концентрируется в одной величине — коэффициенте теплоотдачи α, который представляет собой функцию большого числа параметров, существенно влияющих на процесс теплообмена. Прежде всего конвективный теплообмен оказывается связанным с движением самой жидкости, т. е. с гидродинамическим процессом.
В 1883 г. английский ученый Осборн Рейнольдс показал, что существуют два основных режима движения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном движении отдельные струи потока располагаются параллельно друг другу, тогда как при турбулентном они хаотически переплетены друг с другом.
На рис. 1, а схематически показана модель движения жидкости вдоль пластины, включающая два режима течения — ламинарный и турбулентный. На переднем участке пластины х<хкр образуется ламинарный гидродинамический пограничный слой толщиной δл(x). Гидродинамическим пограничным слоем называют пристенный слой жидкости толщиной δ, в котором происходит изменение скорости движения жидкости от нулевой (на поверхности тела) до значения V0— скорости основного потока жидкости.
Рис. 1. Структура пограничного слоя: а — обтекание пластины потоком жидкости; б — течение жидкости в трубе
Переход из турбулентного течения в ламинарное и обратно количественно характеризуется так называемым числом Рейнольдса — Re. Например, при обтекании пластины при значении числа Рейнольдса Re = VL/ν >5*105 возникает турбулентность.
Типичные модели конвективного теплообмена — это движение жидкости вдоль пластины, свободная конвекция у вертикальной пластины, течение жидкости в канале.
Как только x ≥xкрстановится больше критической, движение в слое становится неупорядоченным, вихревым; образуются турбулентный пограничный слой толщиной δт и ламинарный подслой толщиной δп .
У внутренней поверхности трубы образуется пограничный слой, толщина которого у входного края трубы равна нулю, а затем постепенно возрастает, как это показано на рис. 1, б. На определенном расстоянии х>lн от входа пограничный слой утолщается настолько, что заполняет все сечение, начинается область стабилизированного течения. Кривая распределения скорости потока по сечению канала имеет форму параболы 1 (ламинарное движение) либо более сложной выпуклой кривой 2(турбулентное движение). Для. стабилизированного потока, как будет показано ниже, при Re = Vd/ν ≥2300 ламинарное течение переходит в турбулентное.
Ниже для различных случаев теплообмена приведены значения коэффициентов теплоотдачи α:
Свободная конвекция: в газах в масле и других жидкостях той же плотности в воде Вынужденная конвекция в газах в масле и других жидкостях той же плотности в воде | α Вт/(м2·К) 2 - 10 200 – 300 200 – 600 10 - 100 300 – 1000 100 - 3000 |
Дата добавления: 2016-07-05; просмотров: 2537;