Уравнения состояния дискретных систем

Способ математического описания дискретных систем разностными уравнениями является наиболее общим и применяется как для линейных, так и для нелинейных систем. Разностные уравнения позволяют провести полное исследование системы, они хорошо приспособлены для решения задач анализа и синтеза с помощью ЭВМ

Вопрос о составлении разностных уравнений импульсной системы

Рис. 33

удобно рассмотреть сразу для многомерной САУ. Уравнения для системы с одним входом и одним выходом получатся тогда как частный случай.

Рассмотрим многомерную синхронную синфазную импульсную систему (рис.33). Импульсные элементы в этой схеме имеют одинаковые частоты квантования и работают синфазно. Пусть непрерывная часть системы описывается уравнением

(53)

(54)

где -мерный вектор переменных состояния; -мерный вектор входных воздействий, -мерный вектор выходных переменных.

Матрицы A,B,C,D имеют следующие размерности: A-(n´n) матрица, B-(n´m) матрица, C-(r´n) матрица и D-(r´m) матрица . Графически уравнениям (53), (54) соответствует структурная схема, представленная на рис.34. Здесь и далее двойные стрелки на схеме указывают на то, что связи относятся к векторным величинам.

Матрица A - основная или собственная матрица системы. Она определяет устойчивость системы, характер ее свободных движений Матрица B - матрица формирования управления. Она определяет передаточные свойства системы и характеристики вынужденного движения. Матрица C определяет связь между выходными переменными и переменными состояния, матрица D устанавливает непосредственную зависимость выходных координат системы от входных переменных,

Рис. 34

Рассмотрим решение дифференциального уравнения (53) при заданных начальных условиях и известных входных воздействиях u(t) . Как известно, общее решение неоднородного дифференциального матричного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

,

где X(t) - произвольная фундаментальная матрица соответствующего однородного дифференциального уравнения. Выбрав в качестве X(t) нормированную фундаментальную матрицу (для стационарной системы она имеет вид ), получим

. (55)

Предположим, что в качестве формирующего звена используется экстраполятор нулевого порядка. Тогда в течение каждого из интервалов квантования на вход непрерывной части поступает постоянный сигнал u(t)=const=u[kT]. Полагая известными значения переменных состояния при , найдем их значения при t=(k+1)T . Подставив соответствующие значения в уравнение (55), получим

. (56)

Таким образом, получена система разностных уравнений в матричной форме, определяющая значения переменных состояния на k+1 такте через значения вектора состояния и вектора входных воздействий на предыдущем шаге. Векторное уравнение (56) можно представить в виде

Дополняя его дискретным аналогом уравнения (54), получим окончательную систему разностных уравнений в виде

(57)

(58)

где Ф - собственная матрица импульсной системы, ; H матрица входа,

; Е- единичная матрица соответствующей размерности. Матрицы С и D при переходе от уравнений (54) и (58) не изменяются.

Таким образом, получена система разностных уравнений, описывающая рассматриваемую импульсную систему.

3. Некоторые способы вычисления переходной матрицы.

Из выражений для матриц Ф и Н , входящих в уравнение (57) легко видеть, что основные сложности при переходе от системы (53), (54) к системе разностных уравнений (57), (58) заключаются в вычислении собственной матрицы , которая является переходной матрицей непрерывной части. Для ее нахождения используют как аналитические, так и численные методы .Наиболее часто аналитические методы связаны с решением однородного дифференциального уравнения

(59)

при произвольных начальных условиях . Применяя для решения уравнения преобразование Лапласа, получаем

,

где . Отсюда

и тогда

.

Из последнего соотношения следует, что

Существуют и другие аналитические методы нахождения матрицы [2]. Однако все аналитические методы отличаются сложностью и трудоемкостью, которые возрастают с ростом размерности вектора состояния системы.

Численные методы определения матрицы основаны на вычислении суммы матричного ряда

где - число удерживаемых членов бесконечного ряда.

Недостаток вычисления матрицы Ф по этому методу - плохая сходимость степенного разложения, которая вместе с учетом конечной разрядности ЭВМ может привести к существенным погрешностям в вычислениях (вплоть до неверного определения знака у элементов матрицы Ф).

Лучшей сходимостью обладают алгоритмы, основанные на использовании степенных рядов, полученных в результате разложения по полиномам Чебышева [2] . Наконец, элементы матрицы Ф могут быть получены в результате повторного n -кратного численного решения дифференциального уравнения (59). После численного интегрирования в интервале от 0 до Т уравнения (59) для , найденный вектор x(T) при t=T будет представлять собой первый столбец матрицы Ф . Аналогично, решив численно уравнение (59) при , получим второй столбец матрицы Ф , а в результате n-кратного интегрирования матрица Ф будет определена полностью. Таким же способом можно численно вычислить и матрицу Н. Для этого необходимо проинтегрировать m раз уравнение (53), положив x=0 и приравнивая к единице поочередно компоненты вектора входных воздействий u.