Найпростіші задачі аналітичної геометрії

1. Відстань між двома точками.

Рис. 3.4

Нехай задано дві точки М₁ (х₁, у₁) і
М₂ (х₂, у₂) (рис. 2.10).

.

Трикутник М₁М₂K — прямокутний, тому за теоремою Піфагора маємо:

(3.7)

2. Поділ відрізка у заданому відношенні.

Рис. 3.5

Число l — називається відношенням, в якому точка М ділить відрізок М₁М₂ (рис. 2.11), якщо

.

Нехай задано l і координати точок і , треба знайти координати точки М (х, у).

З рис. 2.11 і теореми про пропорційні відрізки, що відтинають паралельні прямі на сторонах кута, випливають співвідношення:

.

Оскільки числа х – х₁ і х₂ – х одного й того самого знака (при х₁ < х₂ вони додатні, а при х₁ > х₂ — від’ємні), то . Отже, .

Звідси:

. (3.5)

Аналогічно до попереднього дістанемо формулу для знаходження координати у

. (3.6)

Наслідок. Якщо точка М (х, у) — середина відрізка М₁ М₂, то
l = 1 і формули (2.11), (2.12) набирають вигляду:

.

Рис. 2.12

3. Площа трикутника.

Нехай задано координати вершин деякого трикутника А (х₁, у₁), В (х₂, у₂), С (х₃, у₃) (рис. 2.12).

Знайдемо площу цього трикутника.

Тема 4. Пряма на площині і в просторі

План

1. Рівняння прямої у просторі.

Рівняння прямої у просторі

Пряму у просторі можна задати як лінію перетину двох площин у прямокутній системі координат:

(4.1)

Зрозуміло, що ці площини мають бути непаралельними, тобто їхні нормальні вектори , — не колінеарні. Система (2.31) називається загальним рівнянням прямої. Дістанемо ще деякі форми рівняння прямої.

Канонічне рівняння прямої. Нехай у системі координат Охуz задано пряму l і ненульовий вектор , колінеарний цій прямій. Точка належить прямій, а напрямний вектор . Тоді довільна точка М (х, у, z) лежатиме на прямій тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні:

. (4.2)

Рівняння (2.32) називається канонічним рівнянням прямої у просторі.

Параметричне рівняння.

У рівнянні прямої (2.32) позначимо через t кожне з рівних відношень. Тоді

.

Звідси дістаємо:

Параметричне рівняння прямої в просторі.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Нехай дві точки і належать прямій у просторі. Тоді вектор можна розглядати як напрямний вектор прямої. Замінюючи ним вектор у рівнянні (2.32), дістанемо шукане рівняння прямої у просторі

.

Для знаходження кута між двома прямими

і

візьмемо до уваги, що вектори і колінеарні відповідним прямим і скористаємося формулою:

.

З останньої формули випливає умова перпендикулярності двох прямих

,

а умову паралельності двох прямих дістанемо як умову колінеарності напрямних векторів і :

.

Розглянемо ще задачу знаходження відстані від точки до прямої .

Шукану відстань можна розглянути як довжину висоти паралелограма, побудованого на векторах і (рис. 4.1). Відомо, що площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку векторів, на яких побудовано цей паралелограм. Доходимо висновку, що шукану висоту, а отже, і відстань від точки до прямої можна знайти за формулою:

(4.3)