Елементи теорії матриць. Основні поняття.

План

1. Основні поняття.

Основні поняття

Розглянемо ще один математичний об’єкт, пов’язаний із системою рівнянь (1.1).

Означення. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпців. Якщо повернутися до системи рівнянь (1.1), то коефіцієнти при невідомих у лівій частині якраз і утворюють таку прямокутну таблицю:

.

Числа називаються елементами матриці, а запис означає її розмір. Зауважимо, що на першому місці в цьому запису зазначено кількість рядків матриці, а на другому — кількість стовпців. Наприклад, запис розміру матриці означає, що в ній п’ять рядків і три стовпці. Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, то матриця називається квадратною.

Дві матриці рівні між собою, якщо вони мають однаковий розмір і всі їх відповідні елементи рівні між собою.

Елементи з двома однаковими індексами a₁₁, a₂₂, a₃₃, ... a_nn утворюють головну діагональ матриці. Якщо , то матриця називається симетричною.

Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю, називається одиничною матрицею:

.

Коли всі елементи матриці, що містяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця називається трикутною.

Кожній квадратній матриці можна поставити у відповідність визначник, який складається з тих самих елементів.

.

Якщо такий визначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою, або невиродженою. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особлива, або вироджена.

Дії з матрицями

1. Сумою матриць одного й того самого порядку і називається матриця ; , будь-який елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць
А і В: . Наприклад обидві матриці , мають розмір , тому за означенням можна утворити їх суму — матрицю

.

2. Добутком матриці на деяке число називається така матриця С, кожен елемент якої утворюється множенням відповідних елементів матриці А на , .

Приклад. , .

Очевидно, що для суми матриць і добутку матриць на число виконуються рівності:

1) ; 2) ; 3) ; 4) , 5) .

Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається така матриця розміру , , кожний елемент можна знайти за формулою:

.

Кожний елемент матриці С утворюється як сума добутків відповідних елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В, тобто за схемою:

Зазначимо, що в результаті множення дістанемо матрицю розміру .

З означення випливає, що добуток матриць некомутативний: .

Повернемось до системи рівнянь (1.1) і утворимо матриці: А — коефіцієнтів при невідомих, Х — невідомих, В — вільних членів:

, , .

Тоді згідно з означенням добутку матриць систему рівнянь (1.1) можна записати в матричному вигляді:

, (1.5)

який значно скорочує запис системи рівнянь.

Обернена матриця

Означення.Матриця А^–1 називається оберненою матрицею до квадратної невиродженої матриці А, якщо виконується співвідношення: .

Нехай дано квадратну матрицю А. Доведемо, що коли , існує обернена матриця А^–1. Розглянемо матрицю:

. Утворимо добутки і .

За правилом множення матриць елементи матриці С знаходимо за формулою:

. (1.6)

Якщо i = j, то згідно з формулою (1.3) маємо: , тобто знаходимо значення визначника матриці А; якщо то вираз (1.6) є сумою добутків елементів i-го рядка визначника на алгебраїчні доповнення, що відповідають j-му рядку цього самого визначника. За властивістю 9 визначників така алгебраїчна сума дорівнює нулю. Отже, якщо i ¹ j. Матриця С набирає вигляду: . Щоб ця матриця стала одиничною, треба помножити її на .

.

Отже, обернена матриця має вигляд:

.

Доведемо, що для матриці А матриця А^–1 єдина. Для цього припустимо протилежне. Нехай існує одна матриця С, така що АС = СА = Е. Тоді

САА^–1 = С(АА^–1) = СЕ = С,

а водночас

САА^–1 = (СА)А^–1 = ЕА^–1 = А^–1, звідси С = А^–1.

Доходимо висновку, що початкове припущення неправильне, тобто обернена матриця єдина.

Повернемось тепер до виразу (1.5) — запису системи рівнянь у матричному вигляді АХ = В. Припустимо, що система складається з n лінійних рівнянь з n невідомими, матриця А — квадратна і — матриця невироджена. Тоді для матриці А побудуємо обернену А^–1 — вона за тих припущень, які щойно зроблено, існує. Помноживши тепер матричну рівність АХ = В зліва на матрицю А^–1, дістанемо:

,

або остаточно .

Останній вираз — це розв’язок системи лінійних рівнянь. Зауважимо, що в такому вигляді можна записати розв’язок будь-якого матричного рівняння, якщо матриця А задовольняє умови існування А^–1.

Ранг матриці

Розглянемо матрицю А розміром

і введемо ще одне важливе поняття.

Означення. Рангом матриці А розміром називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора, утвореного з елементів цієї матриці. Зрозуміло, що , а най-
більший можливий ранг матриці може дорівнювати меншому з чисел m і n.

Обчислюючи ранг матриці, потрібно переходити від мінорів менших порядків, відмінних від нуля, до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено відмінний від нуля мінор М k-го порядку, то достатньо обчислити лише мінори -го порядку, що обводять мінор М. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k. Якщо серед них знайдеться такий, що відмінний від нуля, то далі для нього будуються обвідні мінори -го порядку і т. д.

Означення. Елементарними перетвореннями матриці А називаються такі її перетворення:

1) заміна місцями двох рядків або двох стовпців матриці;

2) множення рядка або стовпця матриці на довільне відмінне від нуля число;

3) додавання елементів одного рядка або стовпця до відповідних елементів іншого рядка або стовпця, попередньо помноженого на деяке число.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

Далі матриці, які мають рівні ранги, називатимемо еквівалентними матрицями. Еквівалентні матриці об’єднуватимемо знаком «~» («тильда»).

Тема 3. Вектори

План

1. Вектори, лінійні операції над векторами.