Мінори та алгебраїчні доповнення
Системи лінійних рівнянь, визначники. Основні поняття. Предметом розгляду лінійної алгебри для економістів є насамперед теорія систем лінійних рівнянь, які в загальному вигляді можна подати так:
(1.1)
Система (1.1) називається системою m лінійних рівнянь з невідомими (змінними), де x1, x2, ..., xn — невідомі; aij — коефіцієнти системи рівнянь; bi — вільні члени, або праві частини системи рівнянь. Якщо всі bi = 0 , то система лінійних рівнянь називається однорідною.
Розв’язком системи рівнянь (1.1) є множина таких чисел k1, k2, ..., kn, у результаті підставляння яких замість відповідних невідомих x1, x2, ..., xn у кожне з рівнянь системи (1.1) останні перетворюються на правильні числові рівності.
Якщо система рівнянь не має жодного розв’язку, вона називається несумісною, а якщо має хоча б один розв’язок — сумісною. Сумісна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо розв’язків більш як один.
Визначники другого і третього порядків, їх властивості
Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і кількість рівнянь рівні між собою, тобто m = n. Нехай, наприклад, n = m = 2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:
Визначником другого порядку називається вираз
.
Приклад.
.
Якщо n = m = 3, то маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
Визначником третього порядку називається вираз:
. (1.2)
Для запам’ятовування правила обчислення визначника третього порядку пропонуємо таку схему (правило трикутників):
Позначимо точками елементи визначника, тоді доданки зі знаком «плюс» — це добутки елементів a11, a22, a33, розміщених на головній діагоналі визначника, і добутки елементів a13, a21, a32і a12, a23, a31, розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі. Зі знаком «мінус» беруться доданки, що є добутками елементів a13, a22, a31, розміщених на сторонній діагоналі визначника, та у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні сторонній діагоналі визначника — a11, a23, a32 і a12, a21, a33.
Запропонуємо ще одне правило обчислення визначника третього порядку (правило Саррюса).
У початковому визначнику за третім стовпцем запишемо ще раз перший і другий стовпці:
Для знаходження визначника за цим правилом треба утворити зі знаком «плюс» алгебраїчну суму добутків елементів, розміщених на головній діагоналі визначника, і на діагоналях, паралельних їй, а зі знаком «мінус» — добутків елементів, розміщених на сторонній діагоналі, та на діагоналях, паралельних їй.
Визначник:
,
рядки якого є стовпцями попереднього визначника, є транспонованим щодо визначника (1.2).
Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті транспонування.
З властивості 1 випливає, що будь-яке твердження, котре справджується для рядків визначника, справджується і для його стовпців, і навпаки.
Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.
Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак зміниться на протилежний.
Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.
Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться на С.
З останньої властивості випливає, що спільний множник елементів рядка можна виносити за знак визначника.
Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.
Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.
Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.
Мінори та алгебраїчні доповнення
Нехай визначник має n рядків і n стовпців. Мінором k-го порядку k [1; n–1] називається визначник, утворений з елементів, розміщених на перетині будь-яких k рядків і k стовпців визначника. Зрозуміло, що мінор першого порядку — це будь-який елемент визначника.
Приклад. Утворити кілька мінорів другого і один мінор третього порядку такого визначника:
.
, , , ... , .
Мінори , , другого порядку утворюються з елементів, розміщених на перетині першого, другого рядків; першого, другого стовпців; третього, четвертого рядків; першого, третього стовпців; другого, четвертого рядків; третього, четвертого стовпців. Мінор третього порядку утворюється з елементів, розміщених на перетині другого, третього, четвертого рядків і першого, третього, четвертого стовпців.
Верхній індекс означає нумерацію мінорів; нижній індекс — порядок мінора.
Доповняльним мінором для мінора k-го порядку називається такий мінор, який лишається у визначнику після викреслювання тих k рядків і тих k стовпців, на перетині яких містяться елементи, що утворили мінор k-го порядку.
Нехай мінор k-го порядку утворено з елементів, розміщених на перетині i1, i2, ..., ik рядків і j1, j2, ..., jk стовпців.
Алгебраїчним доповненнямдо мінора k-го порядку є доповняльний мінор (n–k)-го порядку, узятий зі знаком , де Якщо сума номерів рядків і стовпців парна, то береться знак «+», якщо непарна — то знак «–».
Далі важливу роль відіграватиме алгебраїчне доповнення до мінора першого порядку. Нехай — будь-який елемент-мінор першого порядку у визначнику n-го порядку, тоді буде алгебраїчним доповненням до мінора . Тут — доповняльний мінор (n–1)-го порядку, утворений викреслюванням i-рядка і j-стовпця в початковому визначнику n-го порядку.
Обчислення визначників
Означення. Визначником n-го порядку називається число , яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на відповідні їм алгебраїчні доповнення:
(1.3)
Алгебраїчні доповнення, що входять до формули (1.3), за якою обчислюють визначник, є, у свою чергу, мінорами, узятими з відповідними знаками, тобто визначниками (n–1)-го порядку. Отже, обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників (n–1)-го порядку.
Але з формули (1.3) випливає, що за наявності у визначнику нульових елементів відповідні алгебраїчні доповнення обчислювати не потрібно.
Згідно з властивістю 8, яка справджується для визначників будь-якого порядку, можна визначник перетворити так, щоб у його рядках або стовпцях усі елементи, крім одного, дорівнювали нулю. І тоді, розклавши визначник за елементами цього рядка або стовпця, зведемо задачу знаходження визначника n-го порядку до знаходження одного визначника n–1-го порядку.
Правило Крамера
Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:
(1.4)
Теорема. Якщо головний визначник складений із коефіцієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами:
,
де — головний визначник системи, який утворюється з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи (1.4);
— визначник, який утворюється заміною j-го стовпця в головному визначнику на стовпець вільних членів.
Дата добавления: 2016-05-26; просмотров: 3377;