Уравнение неразрывности (сплошности) потока

Установим общую зависимость между скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается условие сплошности, или неразрывности движения.

Выделим внутри потока элементарный параллелепипед объемом

dV = dxdydz, ребра которого ориентированы параллельно осям координат.

Пусть составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площадью dS = dydz, равна ω_х. Тогда через эту грань в параллелепипед войдет вдоль оси х за единицу времени масса жидкости ρω_хdydz, а за промежуток времени dτ – масса жидкости.

M_x = ρω_хdydzdτ

На противоположной грани параллелепипеда скорость и плотности жидкости могут отличаться от соответствующих величин на левой грани и будут равны и . Тогда через правую грань параллелепипеда за то же время dτ выйдет масса жидкости

Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси х:

Если составляющие скорости вдоль осей y и z равны ω_y и ω_z соответственно, то приращения массы вдоль этих осей по аналогии составят:

Общее накопление массы жидкости за время dτ равно сумме ее приращений вдоль всех осей координат:

Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объеме параллелепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объеме:

Приравнивая оба выражения dM, сокращая на (–dxdydz) и перенося в левую часть уравнения, окончательно получим:

(1)

Уравнение (1) представляет собой дифференциальное уравнение неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости.

В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т.е. и уравнение (1) примет вид

(2)

Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы, а также для газов в условиях изотермического потока при скоростях, значительно меньших скорости звука, ρ = const и, следовательно:

(3)

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости.

Сумма изменений скорости вдоль осей координат в левой части уравнения (3) называется дивергенцией вектора скорости и обозначается через divω. Поэтому данное уравнение можно представить как divω = 0.

Для того чтобы перейти от элементарного объема ко всему объему жидкости, движущейся сплошным потоком (без разрывов и пустот) по трубопроводу переменного сечения, проинтегрируем дифференциальное уравнение (2).

Если бы площадь сечения трубопровода не изменялась, то для установившегося однонаправленного движения (в направлении оси х) интегрирование уравнения (2) дало бы зависимость ρω = const.

Если же площадь сечения S трубопровода переменна, то интегрируя также по площади, получим

ρωS = const (4)

Для трёх различных сечений трубопровода

ρ ₁ω₁S₁ = ρ₂ω₂S₂ = ρ₃ω₃S₃ или М₁ = М₂ = М₃ (5)

Выражение (4) и (5) представляет собой уравнение неразрывности (сплошности) потока в его интегральной форме для установившегося течения или уравнение постоянного расхода

При установившемся движении жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его поперечное сечение проходит в единицу времени одно и то же количество жидкости.

Для капельных жидкостей ρ₁ = ρ₂ = ρ₃ = ρ = const, тогда уравнение (4) примет вид

ωS = const (6)

Следовательно

ω₁S₁ = ω₂S₂ = ω₃S₃ = const

Скорости капельной жидкости в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений. Таким образом, уравнение постоянства расхода является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока.