Основы теории подобия

Модель – упрощенное представление о явлениях, происходящих в естественной природе и сохраняющая основные черты происходящего.

Безразмерные масштабные множители, выражающие отношения однородных сходственных величин подобных фигур (или систем), называются константами подобия.

Инвариантом подобия называют безразмерные отношения каких-либо двух размеров одной из фигур, равные отношению сходственных размеров подобной фигуры.

Геометрическое подобие соблюдается при равенстве отношений всех сходственных линейных размеров натуры и модели:

Временное подобие характеризуется тем, что сходственные частицы в геометрически подобных системах, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути за промежутки времени, отношение которых является постоянной величиной:

Подобие физических величин предполагает, что для двух сходственных точек, размещенных подобно в пространстве и времени, отношения физических свойств является величинами постоянными:

Первая теорема подобия была сформулирована Ньютоном. Согласно этой теореме, при подобии систем всегда могут быть найдены такие безразмерные комплексы величин, которые для сходственных точек данных систем одинаковы, т.е. подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия.

Второй закон Ньютона

Выделим в подобных системах 2 частицы, движущиеся подобно. В натуре на частицу массой действует сила сообщая ей ускорение ; в модели сходственная частица массой под действием силы приобретает ускорение

Тогда

При подобном движении частиц для сходственных точек натуры и модели константы подобия выражаются отношениями:

т.е.

Отношения приращений величин, входящих в константы подобия, можно заменить отношениями самих величин, т.е.

Величину С, составленную их констант подобия, называют индикатором подобия.

Таким образом, получен безразмерный комплекс величин, значения которого одинаковы для сходственных точек обеих систем. Этот комплекс называют критерием Ньютона

который характеризует отношение действующей на частицу силы к силе инерции.

Достоинства критериев – не имеют размерности и позволяют удобно моделировать процессы упрощенно.

Вторая теорема подобия была доказана Бэкингемом, Федерманом и Афанасьевой-Эренфест. Согласно этой теореме, решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, т.е. между критериями подобия.

Если обозначить критерии подобия через , то решение дифференциального уравнения может быть представлено в общем виде:

Такие уравнения называют уравнениями в обобщенных переменных или критериальными уравнениями.

Критерии подобия, которые составлены только из величин, входящих в условия однозначности, называют определяющими. Критерии же, включающие также величины, которые не являются необходимыми для однозначной характеристики данного процесса, а сами зависят от этих условий, называют определяемыми.

Из критериального уравнения, представляющего собой функциональную зависимость между критериями подобия, рассчитав предварительно величины определяющих критериев, находят величину определяемого критерия, а из него – численное значение интересующей нас величины. Если определяемым является некоторый критерий π₁ , то .

Вторая теорема подобия отвечает на вопрос, как обрабатывать результаты опытов, проведенных на моделях: их надо представлять в виде функциональной зависимости между критериями подобия.

Третья теорема подобия, или теорема М.В.Кирпичева и А.А. Гухмана, формулирует необходимые и достаточные условия подобия: подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности.

Таким образом, исследование процессов методом теории подобия должно состоять из следующих элементов:

1. Получив полное математическое описание процесса, т.е. составив дифференциальное уравнение и установив условия однозначности, проводят подобное преобразование этого уравнения и находят критерии подобия.

2. Опытным путем на моделях устанавливают конкретный вид зависимости между критериями подобия, причем полученное обобщенное расчетное уравнение справедливо для всех подобных явлениях в исследованных пределах.