Раскрытие неопределенностей
Правило Лопиталя
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
Теорема Лопиталя. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля в окрестности точки а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Замечание. Теорема остается в силе и в том случае, когда в точке x = a функции j (x) и y (x) обращаются в бесконечность.
Принимая во внимание сформулированную теорему, сформулируем следующее правило.
Правило Лопиталя. Для раскрытия неопределенностей и надо заменить предел отношения двух функций пределом отношения их производных. Если окажется, что отношение производных имеет конечный предел, то к этому же пределу стремится и отношение данных функций.
Для раскрытия других неопределенностей , , , и т. п. эти неопределенности следует предварительно преобразовать к неопределенности вида или , для чего их предварительно иногда приходится прологарифмировать.
Если неопределенность не раскрылась после применения правила Лопиталя, это правило можно применить еще раз, но уже к отношению производных (при условии, что отношение производных порождает неопределенности или ).
Пример
Пример
Пример: Найти предел .
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;
;
Пример: Найти предел .
; ; .
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Пример: Найти предел .
; ;
; ;
; ;
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод.
Пример: Найти предел .
; ;
- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.
; ;
- применяем правило Лопиталя еще раз.
; ;
;
Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 в окрестности точки а при х® а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
Пример
Пример: Найти предел .
Здесь y = xx, lny = xlnx.
Тогда .
Следовательно
Пример: Найти предел .
; - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.
;
Пример:
Обозначим
Найдем
Но
Ответ:
Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 473;