Приближенные вычисления с помощью дифференциала

1. Вычисление приближенного значения приращения функции

Пример. Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение функции при изменении аргумента от 5 до 5,01.

Найдем дифференциал функции . Подставим значения х₀ = 5, Dх = 0,01. Получим

2. Вычисление приближенного значения функции

Пример. Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала 1,998⁵.

Рассмотрим функцию , где х = 1,998. Разобьем х на х₀ и Dх (х = х₀ + Dх), пусть х₀ = 2, тогда Dх = - 0,002.

Найдем значение , ,

Тогда 1,998⁵ » 32 – 0,16 = 31, 84.

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производнуюфункции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

Основные теоремы дифференциального исчисления

1. Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то в интервале (а, b) существует хотя бы одна точка c (a < c < b), в которой производная f '(с) = 0.

Геометрический смысл теоремы Роля. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка с такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Заметим, что если хотя бы в одной точке промежутка [a; b] функция не дифференцируема, то производная функции f (x) может в нуль и не обратиться. Например, функция y =1-½x½непрерывна на промежутке [-1; +1], дифференцируема в (-1;+1) за исключением точки x₀ = 0, причем f (-1) = f (1) = 0, т.е. условие теоремы Ролля нарушено в единственной точке x₀ = 0 (в ней функция не дифференцируется). Очевидно, что ни в одной точке графика функции на промежутке [-1; 1] касательная к графику не параллельна оси 0x.

Теорема Ролля имеет несколько следствий:

1) Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем f(a) = f(b) = 0, то существует, по крайней мере, одна точка с, a < с < b, такая, что f¢(с) = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

2) Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n-1)-го порядка и n раз обращается в нуль, то существует, по крайней мере, одна точка интервала, в котором производная (n –1)–го порядка равна нулю.

2. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (а, b), то в этом интервале найдется, по крайней мере, одна точка c (a < c < b), такая, что .

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Выражение называется формулой конечных приращений Лагранжа.

3. Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 ни в одной точке этого интервала, то существует по крайней мере одна точка c (a < c < b), такая, что имеет место равенство:

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке с.

Геометрический смысл теоремы Коши.

Нетрудно убедиться в том, что геометрический смысл теоремы Коши совпадает с геометрическим смыслом теоремы Лагранжа.