Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Пусть функции f(х) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки и в этой окрестности за исключением точки . Если или , т. е. отношение этих функций в точке представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то

при условии, что существует предел отношения производных. ( может быть и ).

Если частное в точке также неопределенность вида 0/0 или ∞/∞ и производные и удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.

В случае неопределенности вида или следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞ и далее воспользоваться правилом Лопиталя.

В случае неопределенности вида 0⁰, ∞⁰ или 1^∞ следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Доказывать теорему в общем случае не будем, а ограничимся одним частным случаем, разъясняющим суть дела.

Пусть функции и определены и непрерывны в некоторой окрестности точки и знаменатель не обращается в нуль в точках этой окрестности, за исключением самой точки . Пусть существуют производные и в точке , причем Тогда

Доказательство. Поскольку и , то

в силу определения производной.

Пример 4. 18.Найти .

Решение.Числитель и знаменатель стремятся к нулю при , а потому имеем неопределенность вида 0/0. Воспользуемся правилом Лопиталя, т. е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций:

.

Пример 4.19.Найти .

Решение.Это — неопределенность вида 0/0. Имеем

, так как . Здесь правило Лопиталя применено дважды.

Пример 4.20.Найти .

Решение.В данном случае имеет место неопределенность вида ∞/∞. Находим

.

Пример 4.21.Найти .

Решение.Это — неопределенность вида 0°. Обозначим данный предел через А, т. е. , и прологарифмируем его. Вычислим предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя (после преобразования к неопределенности вида ∞/∞):

. Следовательно, .