Уравнение второй степени с двумя переменными определяет на плоскости кривую второго порядка и притом единственную. Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

В этом уравнении коэффициенты могут принимать любые действительные значения при условии, что А, В и С одновременно не равны нулю. Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) - уравнение эллипса.

2) - уравнение “мнимого” эллипса.

3) - уравнение гиперболы.

4) a²x² – c²y² = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y² = 2px – уравнение параболы.

6) y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y² = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

Пусть центром окружности является точка О(a; b), а расстояние до любой точки М(х;у) окружности равно R. Тогда

(x – a)² + (y – b)² = R² –

каноническое уравнение окружности с центром О(a; b) и радиусом R.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

у

b М

Гиперболойназывается множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

или ,

где a, b и c связаны между собой равенством a² + b² = c².

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Фокусы обозначаются буквами F₁, F₂, расстояние между фокусами – 2с, разность расстояний от любой точки гиперболы до фокусов – 2а (2а < 2c). Ось 2а называется действительной осью гиперболы, ось 2b – мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси:

или .

Т.к. по определению 2а < 2c, то эксцентриситет гиперболы всегда выражается неправильной дробью, т.е. .

Если длина действительной оси равна длине мнимой оси, т.е. а = b, ε = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c² = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c² = a² + b² = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c² = 4a²; a² = 4; b² = 16 – 4 = 12.

Тогда - искомое уравнение гиперболы.

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

у

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

Фокус параболы обозначается буквой F, директриса – d, расстояние от фокуса до директрисы – р.

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет вид:

y² = 2px или y² = -2px

Уравнения директрис соответственно x = -p/2, x = p/2

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат, имеет вид:

х² = 2pу или х² = -2pу

Уравнения директрис соответственно у = -p/2, у = p/2

Пример. На параболе у² = 8х найти точки, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4. r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y² = 16; y = ±4. Искомые точки: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

РАЗДЕЛ 2