Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя

Пусть дана матрица -го порядка.

Минором любого элемента называют определитель порядка , соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания -й строки и -го столбца (т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент ). Минор элемента будем обозначать символом .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называют минор этого элемента, умноженный на , т.е.

.

Вычисление определителей п-го порядка

Теорема. Определитель матрицы -го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь одной фиксированной строки на их алгебраические дополнения, т.е. для любого имеет место равенство

,

называемое разложением определителя по элементам -й строки.

Аналогично для имеет место разложение определителя по элементам k-го столбца:

.

Способы вычисления определителей:

1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно вычислять определители второго и третьего порядка.
2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца.
3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Этот способ основан на том, что в силу свойства 9треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Чтобы получить треугольный определитель, нужно к какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, до тех пор, пока не придем к определителю треугольного вида.

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

Пример: Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A ×det B = -26.

2- й способ: AB = , det (AB) = 7×18 - 8×19 = 126 – 152 = -26.

Пример. Вычислить определитель .

= -1

= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

Упражнение. Вычислите каждый из следующих определителей двумя способами (с помощью правила треугольников и с помощью разложения по элементам строки или столбца):

а) , б) , в) .

Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля ( ). В противном случае матрица называется вырожденной( ).

Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая при умножении на матрицу А (как слева, так и справа) дает единичную матрицу. Обратная матрица обозначается символом .

Если для квадратной матрицы существует обратная матрица , то справедливо равенство , где – единичная матрица.

Пусть матрица имеет вид:

.

Теорема. Если – невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица , которая вычисляется по формуле

,

где – алгебраическое дополнение для элемента матрицы .