Действия над векторами, заданными своими координатами

Действия над векторами

1. Суммой двух векторов называется вектор , удовлетворяющий условию: если начало вектора перенести в точку, являющуюся концом вектора , начало вектора совпадет с началом вектора , а конец – с концом вектора (правило треугольника).

2. Произведением вектора на число a называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) ;

2) вектор коллинеарен вектору ;

3) вектор соноправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0 и противоположно направлен ( ­¯ ), если a < 0.

Свойства векторов

1) + = + - коммутативность.

2) + ( + ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) (a×b) = a(b ) – ассоциативность

6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

7) a( + ) = a + a

8) 1× =

Координаты вектора

Пусть точки А(х₁, y₁) и B(x₂, y₂), заданы в прямоугольной декартовой системе координат.

Чтобы найти координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала т.е. = (x₂ – x₁, y₂ – y₁).

Действия над векторами, заданными своими координатами

Если векторы заданы в прямоугольной декартовой системе координат своими координатами, то

1) при сложении двух и большего числа векторов их одноименные координаты складываются, т.е. если то ;

2) при вычитании векторов их одноименные координаты вычитаются, т.е. если то ;

3) при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число, т.е. если то

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки на плоскости А(х₁; y₁), B(x₂; y₂), то

.

Если точка М(х; у) делит отрезок АВ в соотношении l/m, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как: