Передача теплоты через плоскую стенку

Задача является распространенной, связана с передачей теплоты через пластины, стенки, крышки, ребра (рис.1.2)

Рис. 1.2 – Схема теплообмена через плоскую стенку

На рисунке обозначены

Δ – толщина стенки,

q₁– плотность равномерно распределенного источника теплоты (нагрев),

q₂– плотность равномерно распределенного стока теплоты (охлаждение),

Θ₁ и Θ₂ – температуры поверхностей стенки.

Если q₁ ¹ q₂, то процесс теплообмена является неустановившимся, температурное поле будет нестационарным, т.е. температуры поверхностей q₁и q₂ будут непрерывно изменяться во времени.

При установившемся теплообмене q₁= q₂ температуры Θ₁и Θ₂ остаются постоянными во времени.

Рассмотрим установившийся процесс теплообмена, т.е.

Выбираем систему координат(x, y, z). Если принять, как указывалось выше, равномерное распределение плотности тепловых потоков q₁и q₂, то изменение температур вдоль осей y и z будет равным нулю.

В этом случае можно принять , , т. е. температурное поле в стенке будет одномерным. Изотермические поверхности будут расположены перпендикулярно к тепловому потоку.

Выделим слой толщиной dx на расстоянии x от начала координат (рис.1.2).

Плотность теплового потока в слое dx (формула 1.9)

откуда dq = – (q/l)dx.

Принимаем l = const, т.е. коэффициент теплопроводности не зависит от температуры, q = const, т.к. процесс установившийся.

Тогда

Как видим, это уравнение прямой линии.

Величину С определяем из начальных условий.

При x = 0 q = q₁,таким образом С = q₁.

При x = Δ, q =q₂, Подставляя получим , откуда видно, что q₂< q₁.

Решая уравнение относительно q, имеем

. (1.12)

Плотность теплового потока прямо пропорциональна коэффициенту теплопроводности l и разности температур (q₁– q₂) и обратно пропорциональна толщине стенки Δ. Температура по толщине стенки изменяется по линейному закону (рис1.2).

При установившемся теплообмене тепловой поток через стенку

(Дж), (1.13)