Передача теплоты через плоскую стенку

Задача является распространенной, связана с передачей теплоты через пластины, стенки, крышки, ребра (рис.1.2)

Рис. 1.2 – Схема теплообмена через плоскую стенку

На рисунке обозначены

Δ – толщина стенки,

q₁ – плотность равномерно распределенного источника теплоты (нагрев),

q₂ – плотность равномерно распределенного стока теплоты (охлаждение),

Θ₁ и Θ₂ – температуры поверхностей стенки.

Если q₁ ¹ q₂, то процесс теплообмена является неустановившимся, температурное поле будет нестационарным, т.е. температуры поверхностей q₁и q₂ будут непрерывно изменяться во времени.

При установившемся теплообмене q₁ = q₂ температуры Θ ₁ и Θ ₂ остаются постоянными во времени.

Рассмотрим установившийся процесс теплообмена, т.е.

Выбираем систему координат(x, y, z). Если принять, как указывалось выше, равномерное распределение плотности тепловых потоков q₁и q₂, то изменение температур вдоль осей y и z будет равным нулю.

В этом случае можно принять , , т. е. температурное поле в стенке будет одномерным. Изотермические поверхности будут расположены перпендикулярно к тепловому потоку.

Выделим слой толщиной dx на расстоянии x от начала координат (рис.1.2).

Плотность теплового потока в слое dx (формула 1.9)

,

откуда dq = – (q/l)dx.

Принимаем l = const, т.е. коэффициент теплопроводности не зависит от температуры, q = const, т.к. процесс установившийся.

Тогда

Как видим, это уравнение прямой линии.

Величину С определяем из начальных условий.

При x = 0 q = q₁,таким образом С = q₁.

При x = Δ, q =q₂, Подставляя получим , откуда видно, что q₂ < q₁.

Решая уравнение относительно q, имеем

. (1.12)

Плотность теплового потока прямо пропорциональна коэффициенту теплопроводности l и разности температур (q₁ – q₂) и обратно пропорциональна толщине стенки Δ. Температура по толщине стенки изменяется по линейному закону (рис1.2).

При установившемся теплообмене тепловой поток через стенку

(Дж), (1.13)

где F – площадь поверхности стенки,м²,

t – время, с,

λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м ⁰С,

θ₁ и θ₂ – температуры поверхностей стенки,

Δ – толщина стенки, м.

Отношение l/Δ носит название тепловая проводимость, а отношение Δ/l – тепловое сопротивление.