Схематизация по виду закона распределения плотности тепловыделения

Выделим в трехмерном источнике тепловыделения точку М с координатами (индекс u – относится к источнику). Если процесс теплообмена установившийся, то элементарное количество теплоты dQ выделившейся за время τ в элементарном объеме dV будет равно

, (2.1)

где q – плотность тепловыделения в точке М.

Величина зависит для установившегося процесса от координат точки М и имеет сложный вид.

Для удобства вычислений величину q можно представить следующим образом

, (2.2)

где q₀ – максимальная плотность тепловыделения;

– функция, описывающая закон распределения тепловыделения в объеме и являющаяся безразмерной. Количество теплоты, выделившейся в объеме V за время τ определяем, интегрируя выражение (2.1.)

Учитывая, что ,

имеем

Величины τ и q₀ являются постоянными.

Тогда

Обозначим интеграл

В этом случае

(2.3.)

Функция U будет иметь вид:

• для трехмерного источника

• для двумерного источника

• для одномерного источника ,

Из формулы (2.3.)

(2.4)

где W – средняя мощность тепловыделения.

Максимальная плотность тепловыделения q₀ имеет размерность:

• для трехмерного источника Вт/м³
• для двумерного источника Вт/м²
• для одномерного источника Вт/м
• для точечного источника Вт

Для действующих реальных источников теплоты вид зависимости достаточно сложен. Поэтому эту безразмерную функцию заменяют некоторой схематизированной.

Закон распределения плотности тепловыделения может быть установлен только вдоль одной оси, т.е. только для одномерного источника .

Двумерные и трехмерные источники представляют собой комбинации законов распределения по двум или трем осям.

Схематизированные законы распределения плотности тепловыделения источников приведены в таблице (2.2)

Таблица 2.2 – Законы распределения плотности тепловыделения.

код	График закона распределения	Закон	Функция f(xu)
		Равномерно распределенный	f(xu) = 1
		Линейный	f(xu) = 1 – ψu

Продолжение таблицы 2.2

		Линейный	f(xu) = ψu
		Экспоненциальный	f(xu) = exp[ - k0xu]
		Нормально распределенный несимметричный
		Нормально распределенный несимметричный	f(xu) = exp[ – k0(l – xu)2]
		Нормально распределенный симметричный
		Комбинированный	f(xu) = 1 f(xu) = exp[ – k0(ψu – 0,5)]

В этой таблице величины ψ_u и k₀ – параметры распределения.

Код закона распределения плотности тепловыделения источника или стока теплоты содержит 3 цифры, т.е. определяет законы распределения по каждой из осей, что соответствует трехмерному источнику.

Для двумерных источников одна из цифр в коде будет нулем, т.к. по одной из осей распределения нет.

Если источник одномерный, то код содержит два нуля, т.к. распределение плотности тепловыделения будет только по одной оси.

Для точечного источника код содержит три нуля.

При решении теплофизических задач обычно известно количество выделившейся теплоты Q за время действия источника τ, т.е. известна тепловая мощность источника W. Требуется определить q₀ – максимальную плотность тепловыделения для разных значений функции U, т.е. разных законов распределения.

В большинстве случаев при рассмотрении процессов теплообмена в элементах технологических систем, связанных с операциями механической обработки и металлорежущими станками, источники и стоки теплоты являются двумерными, т.е. представляют собой плоские фигуры. Рассмотрим некоторые примеры двумерных источников. В этом случае функция

Код распределения 101 – двумерный источник, равномерно распределенный вдоль двух осей (рис.2.3.)

Рис. 2.3 – Источник с кодом 101

По таблице (2.2.)

f(x) = 1, f(y) = 1

x изменяется от 0 до l,

y изменяется от 0 до b

x изменяется от 0 до l,

y изменяется от 0 до b

;

(2.6)

Рис. 2.4 – Источник с кодом 201

Код распределения 501 – двумерный источник распределен по нормальному несимметричному закону по оси x и равномерно по оси y (рис.2.5)

По таблице

x изменяется от 0 до l,

y изменяется от 0 до b