Упругие деформации твердых тел

1. Виды деформаций. Реальные твердые тела не являются абсолютно твердыми. В результате физических воздействий они изменяют свои размеры и форму, говорят – деформируются. Деформации бывают:

а. механические – при механическом воздействии тел,

б. тепловые – при изменении температуры тел,

в. электрострикционные – при изменении электрических полей,

г. магнитострикционные – при изменении магнитных полей.

Различают упругие деформации, когда форма и размеры ТТ восстанавливаются после прекращения внешнего воздействия, и неупругие, когда изменения остаются.

Самыми простыми деформациями являются:

–деформации растяжения и сжатия,

–деформации сдвига.

Сложные деформации изгиба и кручения сводятся к простым.

2. Сжатие и растяжение. Как установил Роберт Гук, удлинение цилиндрического образца пропорционально действующей на образец силе F, его длине l и обратно пропорционально площади сечения образца S (рис.80). . Закон Гука, 1660г. (27.1)

Коэффициент пропорциональности k называют иногда коэффициентом растяжения. Томас Юнг предложил в 1807г. пользоваться обратной величиной Е = 1çk. Впоследствии величину Е назвали модулем упругости, или модулем Юнга.

Отношение = e называют относительной деформацией растяжения или сжатия, а отношение силы к сечению =s – нормальным напряжением. Закон Гука принимает в таких обозначениях лаконичную форму: . (27.2)

Модуль Юнга Е численно равняется нормальному напряжению, при котором длина образца изменилась бы вдвое. (При s = E = e = 1.) Реальные материалы, за исключением каучуков и резин, не позволяют осуществить такую деформацию, поскольку разрушаются при значительно меньших напряжениях.

3. Коэффициент Пуассона. При деформациях происходит изменение объема тел. Если r – радиус цилиндрического образца, то – поперечное сжатие (уширение) образца. В 1810г. французский ученый Симеон Пуассон предложил характеризовать изменение объема отношением поперечного сжатия к продольной деформации, то есть величиной , которую называют коэффициентом Пуассона.

Если объем материала не меняется, то m = 0,5 (например, жидкость или каучуки). Действительно, объем недеформированного образца V₁ = pr²l. После деформации объем образца V₂ = p(r – Dr)²(l + Dl). При неизменяющемся объеме V₂ – V₁ = 0. Приравняв правые части и пренебрегая величинами второго порядка малости (т.е. выбросив величины Dr² и DrDl), получаем: V₂ – V₁ = pr²Dl – 2prlDr = 0. Отсюда . ( ).

Все реальные ТТ увеличивают объем при растяжении и уменьшают его при сжатии, поэтому коэффициент Пуассона у них меньше 1ç2.

4. Деформация сдвига (рис.81). Закон Гука для деформации сдвига имеет вид: или . (27.3)

Здесь F – сила, касательная поверхности образца, относительная деформация сдвига, а =t – касательное напряжение, G – модуль сдвига. Численно он равен касательному напряжению t, при котором угол сдвига составил бы 45°.

Модуль упругости при растяжении (модуль Юнга) Е и модуль сдвига G в пределах применимости закона Гука связаны соотношением: . (27.4)

5. Энергия деформированного тела. Потенциальную энергию W упруго деформированного тела можно найти, вычислив работу, которую совершает упруго деформированное тело после снятия внешнего напряжения (рис.82).

A = W = . (27.5)

Отсюда W = . (27.6)

Плотность энергии . (27.7)

Аналогично находится плотность потенциальной энергии при деформации сдвига: . (27.8)

6. Гистерезис. Пределы упругой деформации большинства материалов (за исключением резин и каучуков) очень невелики. При увеличении напряжения s относительная деформация e изменяется, как показано на рис.83. Здесь s₁ – предел упругости, s₂ – предел текучести, s₃ – предел прочности.

Если образец подвергнуть воздействию периодической силы, то в зависимости от величины напряжения s график изменения относительной деформации e выглядит по-разному (рис.84). График называется петлей гистерезиса (греч. hysteresic –^: отставание). Чем больше площадь петли гистерезиса, тем большая часть работы идет на не обратимые пластические деформации, тем сильнее нагревается образец.

7. Сложные деформации. Деформация изгиба сводится к деформациям сжатия и растяжения, а деформация кручения – к деформации сдвига (рис.85).

Для уменьшения деформаций конструкционных элементов – балок, опор и др. – и экономии материала, что позволяет в то же время уменьшить массу конструкций, им придается различный сложный профиль (рис.86).