Момент импульса и кинетическая энергия твердого тела

1. Момент импульса ТТ можно связать с его моментом инерции I и угловой скоростью вращения тела w. Сравним формулы второго закона динамики вращательного движения ТТ: (24.1)

При малых скоростях вращения, когда линейная скорость любой точки тела меньше скорости света, v << c, момент инерции тела не зависит от времени. Поэтому величину I можно ввести под знак производной: . (24.2)

Итак: . (24.3)

Если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса и угловая скорость вращения тела не меняются, = 0, или = const. (24.4)

Это закон сохранения момента импульса ТТ.

Если вращается не одно тело, а система тел, момент инерции которой под действием внутренних сил может изменяться, то при изменении момента инерции системы I одновременно будет изменяться угловая скорость w так, чтобы сохранялась величина момента импульса: =¼= const. (24.5)

Это закон сохранения момента импульса изолированной системы тел.

2. Кинетическая энергия ТТ может быть представлена как сумма кинетических энергий всех точек тела. . (24.6)

Здесь представляет собой скалярное произведение вектора скорости v_i самого на себя, то есть = v_i². Т.к. скорость любой точки тела слагается из скорости движения полюса v₀ (т.е. скорости поступательного движения центра СК, связанной с какой-либо точкой тела) и скорости вращательного движения относительно полюса: , то

. (24.7)

Но (рис.67). Следовательно, .

Итак: . (24.8)

Если полюс точку О выбрать в центре масс, то средний член обратится в нуль. (Действительно, если постоянные векторы v₀ и w вынести из-под знака суммы, то сумма будет представлять собой статический момент который в этом случае обращается в нуль. Подобная ситуация была в теореме Гюйгенса-Штейнера). Выражение для кинетической энергии ТТ в этом случае упрощается.

. (24.9)

Кинетическая энергия ТТ равна сумме кинетической энергии поступательного движения массы тела, мысленно сосредоточенного в его центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии тела, обусловленной его вращательным движением относительно центра масс.

Если тело движется в поле консервативных сил, то его полная механическая энергия остается постоянной, E_П + Е_К = const. Например, при движении ТТ в поле силы тяжести закон сохранения механической энергии принимает вид: mgh+ = const. (24.10)

Здесь h – высота относительно нулевого уровня, v_С − скорость движения центра масс.