Простейшие дроби

Согласно правилам алгебраического сложения

Обратный процесс перехода от

называется разложением на простейшие дроби.

Чтобы разложить алгебраическое выражение на простейшие дроби, необходимо:

1. Разложить на множители знаменатель (в приведенном выше примере х² - х - 2 разлагается на множители: (х - 2)(х + 1)).

2. Максимальный показатель степени в числителе должен быть хотя бы на единицу меньше, чем в знаменателе (в приведенном выше примере (4х - 5) содержит максимальный показатель степени 1 — это показатель при х (х¹), а максимальный показатель степени в (х² - х - 2) - это 2).

Если максимальный показатель степени в числителе равен максимальному показателю степени в знаменателе, числитель следует делить на знаменатель до тех пор, пока показатель степени числителя не станет меньше показателя степени знаменателя.

Существует три основных типа простейших дробей. Используемые формы простейших дробей приведены в Табл. 1.3, где предполагается, что f(х) имеет большую степень, чем соответствующий знаменатель, а А, В и С — искомые константы.

(В общем случае ах² + bх + с — это квадратичное выражение, которое нельзя разложить на множители без использования иррациональных или мнимых чисел.)

Разложение алгебраического выражения на простейшие дроби предваряет интегрирование некоторых функций (см. разд. 10.4).

Пример. Разложить на простейшие дроби

После разложения знаменатель имеет вид (х - 1)(х + 3), степень числителя меньше степени знаменателя. Таким образом

можно разложить на простейшие дроби.

В обеих частях тождества знаменатели одинаковы, следовательно, числители равны. Итак, 11-Зх ≡ А(х + 3) + В(х - 1).

Чтобы определить константы А и В, подбирают такие величины х, при которых множитель при А или В равен нулю.

Пример. Выразить в виде простейших дробей

Максимальный показатель степени в числителе больше, чем в знаменателе. Проводим деление:

Пример. Выразить в виде суммы трех простейших дробей

Знаменатель содержит комбинацию линейного множителя и повторяющегося линейного множителя.

Пусть по правилам алгебраического сложения

Не вычисляя правую часть уравнения (1), можно увидеть, что приравнивание коэффициентов при х² дает 5 = А + В, значит, А = 2, В = 3.

Пример. Разложить на простейшие дроби

Члены типа х² можно рассматривать как (х + 0)², т. е. это повторяющийся линейный множитель, (х² + 3) — квадратичный двучлен, который не разлагается на множители без использования иррациональных и комплексных чисел. Пусть

Приравниваем коэффициенты при х: 6 = ЗА. Итак, А = 2.
Из уравнения (1) при А = 2 находим С = -4.