Определение реакций опор однопролетных и

много­пролетных балок

Существуют два метода определения реакций опор однопролетной и многопролетной балок: аналитический и графический. Первый из них является основным и позволяет вычислить значения реакций опор с вы­сокой степенью точности. Он основан на использовании условий равно­весия плоской системы сил. Если при этом рационально выбрать направления осей проекций и положения моментных точек, то полученные уравнения равновесия окажутся с разделенными неизвестными, т.е. каждое из уравнений будет содержать только одну неизвестную.

Графический способ основан на использовании теории силового и веревочного многоугольников, которые являются замкнутыми для систем, находящихся в равновесии. Этот метод требует строгого соблю­дения масштаба сил и параллельности линий при построении силового и веревочного многоугольников. Он широко используется в статике сооружений при расчете ферм. В остальных случаях применя­ется аналитический метод.

Рассмотрим несколько примеров определения реакций опор однопролетной балки на двух опорах и составной балки.

Пример 10. Балка на двух шарнирных опорах загружена равномер­но распределенной нагрузкой интенсивностью q = 20 кН/м и сосре­доточенной силой

F = 60 кН (рис.5.7). Требуется найти величины и направления реакций опор.

Рис.5.7

Решение. Для определения реакций опор заменим равномерно рас­пределенную нагрузку q её равнодействующей , приложенной в цен­тре тяжести участка, на котором приложена эта нагрузка. Модуль равнодействующей равен произведению интенсивности нагрузки q на длину участка её распределения, т.е. кН.

В результате балка будет загружена двумя параллельными силами и , направленными вертикально вниз. Кроме них на балку действуют реакции опор, направления которых устанавливаются в зависи­мости от характера этих опор. Реакция подвижной опоры всегда направлена перпендикулярно направлению её подвижности, в данном случае верти­кально вверх. Реакция неподвижной шарнирной опоры А проходит через её центр, но неизвестна по величине и направлению. В общем случае нагружения балки произвольными силами, её следует разложить на две составляющие: горизонтальную и вертикальную , модули которых неизвестны. Однако, в данном примере заданные силы и реакция опоры В параллельны между собою и направлены вертикально, следовательно, реакция опоры А будет иметь только вертикальную составляющую .

Для равновесия балки под действием сил, представленных на рис.5.7 необходимо выполнить следующие условия равновесия:

и

Суммируя момен­ты всех сил относительно опорных точек А и В, получаем следующие уравнения:

1)

2)

Решение этих уравнений при F = 60 кН и R = 80 кН приводит к следующему результату: V_A = 75 кН, V_В = 65 кН.

Положительные значения реакций и подтверждают пра­вильность принятых направлений. Проецируя все силы на вертикаль­ную ось y, и вычисляя их сумму, убеждаемся, что значения реакций опор вы­числены правильно.

- V_A + V_В – F – R =0, 75+65-60-80=0, т.е. 0=0

Пример 11. Балка, представленная на рис.5.8, загружена произ­вольными силами, включая пару сил, момент которой показан стрелкой. Требуется определить реак­ции опор балки, если F = 40 кН m= 50 кНм.

Рис.5.8

Решение. Показываем все силы, действующие на балку: активные силы и m и реактивные , и (рис.5.8).

Записываем три условия равновесия системы сил, действующих на балку:

, и

Составляем уравнения равновесия:

1) H_А - F∙cos60⁰=0

2) V_В∙5 - F∙cos30⁰∙1,5 – m=0

3) - V_A∙5 + F∙cos30⁰∙3,5 + m=0

Подставляем заданные значения F и m в эти уравнения и вычис­ляем модули искомых реакций: H_А= 20 кН, V_В = 20,39 кН,

V_A = 14,25 кН.

Аналогично определяются реакции опор балки с консолью, представ­ленной на рис.5.9.

Рис.5.9

Предлагаем учащимся рационально выбрать условия равновесия, вычислить модули реакций опор и установить их истин­ные направления при q= 30 кН/м, F = 50 кН и m= 60 кНм.

Пример 12. Определить реакции опор составной балки, состоящей из двух стержней, объединенных шарниром С и загруженной силами F₁ = 120 кН , F₂ = 90 кН , F₃ = 60 кН. Направления сил и размеры участков балки (в метрах) показаны на рис.5.10.

Рис.5.10

Решение. Кроме внешних заданных сил на балку действуют реакции опор А, В, D и шарнира С. Реакции и шарнирно подвижных опор направлены вертикально (перпендикулярно оси балки). Полагаем, что они действуют вверх. Реакцию неподвижной опоры А разложим на вертикальную и горизонтальную составляющие.

В точке С объединены два стержня при помощи неподвижного цилиндрического шарнира. Следова­тельно, в этой точке действуют по две равные и противоположно направленные силы: вертикальные и , а также горизонтальные и . При этом силы и приложены к правому концу С левого стержня, а силы и к левому концу С правого стержня. Для определения че­тырех неизвестных реакций опор (по условию не требуется опреде­лять реакции шарнира С) используем следующие четыре условия равновесия:

, , ,

Последние два условия выражают равенство нулю суммы моментов всех сил, соответственно приложенных к правой балке CDи к левой балке АС, относительно точки С.

Составляем уравнения равновесия:

1) ,откуда

кН.

2)

3)

4)

Подставляем в эти уравнения численные значений заданных сил, получаем:

- из уравнения 3 - кН.

- из уравнения 2 - кН.

- из уравнения 4 - кН.

Для контроля правильности решения примера составляем сумму проекций всех сил, дейст­вующих на балку, на вертикальную ось y и прирав­ниваем эту сумму к нулю:

, или 0=0

Примечание: Следует иметь в виду, что равные и противоположно направленные силы и , а также и приложены к разным те­лам. Поэтому нельзя говорить, что они взаимно уравновешиваются. В составленных ранее уравнениях равновесия эти силы не содержатся по той причине, что сумма их моментов относительно любой точки, а также сумма проекций на любую ось равны нулю тождественно.