Система пар, расположенных в одной плоскости, приводится к одной равнодействующей паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Положим, что в плоскости чертежа (рис.3.8,а) действуют три пары, моменты которых соответственно равны , и . Направле­ния их действия указаны на чертеже стрелками.

Возьмем произвольный отрезок АВ = h (рис.3.8,б) и на основании следствия б) свойства 3 эквивалентности пар приведем все задан­ные пары к этому отрезку h (плечу). При этом силы, образующие пары с общим плечом h будемоткладывать от точек А и В перпендикуляр­но отрезку АВ в направлениях, которые соответствуют направлениям действия заданных пар.

Рис.3.8

Так как пары, имеющие моменты и действуют по часовой стрелке, то силы и направляем вверх от точки А, а силы и - вниз от точки В. Силы и следует направить противоположно первым двум силам. Модули сил , и определяем из условия равенства моментов заданных пар и пар, приведенных к общему плечу АВ, т.е. из равенств:

, ,

Откуда находим:

, , (3.10)

Силы , и , приложенные в точке А и действующие вдоль одной прямой приводятся к равнодействующей , направленной вдоль той же прямой и равной по модулю алгебраической сумме этих сил:

(3.11)

Аналогично силы , и приводятся к равнодействующей , модуль которой определяется выражением:

(3.12)

Силы и параллельны между собой, направлены в противоположные стороны и имеют равные модули (согласно равенствам: 3.11 и 3.12).

Следовательно, эти си­лы образуют пару сил ( , ), которая является равнодействующей заданных пар. На рис.3.8,б эта пара перемещена в положение CD .

Покажем, что момент равнодействующей пары равен алгебраичес­кой сумме моментов составляющих пар.

Обозначим момент пары ( , ) буквой m, и вычислим его значе­ние по известной формуле

Заменив модуль равнодействующей её значением из равенства (3.11), получаем:

Приведенное доказательство теоремы является справедливым и для произ­вольного числа пар, т.е:

(3.13)

3.5. Условие равновесия пар.

Для равновесия твердого тела, загруженного системы пар сил, рас­положенных в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равной нулю.

Допустим, что под действием трех пар, показанных на рис.34,а тело находится в равновесии. После приведения заданных пар к общему плечу h (рис.3.8,б), получим три новых пары сил, две из которых действуют по часовой стрелке, а одна противоположно. Так как по условию эти пары сил находятся в равновесии, то очевидно, что

и

Согласно равенствам (3.11) и (3.12) имеем: . Следовательно, момент уравновеши­вающей пары равен нулю. Тогда из выражения (3.13) получим условие равновесия плоской системы пар:

(3.14)

Условие (3.14) позволяет составить уравнение равновесия плоской системы пар и определить неизвестные параметры одной из них.