Теоремы о сложении двух параллельных сил.

Теорема I. Равнодействующая двух параллельных сил, направлен­ных в одну сторону, равна их сумме, направлена в ту же сторону, параллельна им и приложена в точке, которая делит расстояние меж­ду заданными силами на части, обратно пропорциональные их модулям.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим две параллельные силы и , приложенные соответственно в точках А и В твердо­го тела и направленные в одну сторону (рис.3.1). Соединим точки приложения заданных сил и вдоль этой прямой приложим в точках А и В соответственно силы и равные по модулю и противоположные по направлению. Приложение таких сил не нарушает характера дейст­вия заданных сил на твердое тело. Пользуясь правилом геометрического сложения сил, найдем равнодействующие и сил, приложенных в точках А и В.

Рис.3.1

= + и = + .

Из рисунка 3.1 видно, что линии действия сил и пересекаются в точке О.

Перенесем эти силы в точку О и разложим их на исходные составляющие , и , . Составляющие и равные по модулю и направленные вдоль горизонтальной прямой в противоположные стороны, взаимно уравновешиваются, а составляющие и действуют вдоль общей вертикальной прямой в одном направлении. Равнодействующая таких сил равна их алгебраической сумме и направлена вдоль линии их действия в ту же сторону, т.е:

(3.1)

Перенесем равнодействующую в точку С, расположенную на прямой АВ и рассмотрим подобие образовавшихся треугольников:

Треугольник АОС подобен треугольнику аОd, а треугольник ОВС подобен треугольнику Оbk. Составим отношения их сторон:

и

Откуда и , но , а , следовательно, левые части последних двух равенств одинаковы. Приравни­вая правые части этих равенств, получаем:

, где , а . Тогда:

, откуда (3.2)

Таким образом, точка приложения равнодействующей делит рассто­яние АВ между точками приложения заданных сил на отрезки АС и ВС обратно пропорциональные модулям этих сил.

Теорема 2. Равнодействующая двух параллельных, не равных по модулю и противоположно направленных сил, равна их раз­ности, направлена параллельно этим силам в сторону большей из них и приложена на продолжении прямой, соединяющей точки приложения заданных сил в точке, расстояния которой от точек приложения задан­ных сил обратно пропорциональны их модулям.

Пусть в точках А и В некоторого твердого тела приложены две параллельные силы и , направленные в противоположные сторо­ны. Положим, что (рис.3.2).

Разложим силу на две параллельные ей составляющие и , направ­ленные в одну сторону и приложенные в точках С и В соответственно. (Точка С взята на продолжении отрезка ВА, но её положение пока неизвестно). Модуль составляющей принимаем равным модулю заданной силы , тогда модуль силы , приложенной в точке С определится разностью , или

(3.3)

Силы и взаимно уравновешиваются, так как они равны по мо­дулю, приложены в одной точке и направлены вдоль общей прямой в противоположные стороны. Следовательно, сила является равнодействующей двух заданных сил и . Модуль равнодействующей определяется по формуле (3.3), а точка её приложения находится на продолжении отрезка ВА со стороны большей силы.

Рис.3.2

Принимая во внимание, что сила является равнодействующей двух параллель­ных и направленных в одну сторону сил и , на основании про­порции (3.2) можем записать:

, или , но

, , , следовательно:

(3.4)

Таким образом, расстояния от точки приложения равнодействующей до точек приложения заданных сил обратно пропорциональны моду­лям этих сил.