Интерполяция Ньютона, Лагранжа.

Выше (в разд. 4) была рассмотрена процедура интерполяции для рекуррентных точечных отсчетов. Однако данные часто заданы таблично, и шаг отсчетов не обязательно имеет одинаковые интервалы. В этом случае процедуры интерполяции более сложны. Ими занимался еще И. Ньютон смрис 6.1), Задачей увлекались другие математики, в том числе Ж. Л. Лагранж, см.рис 6.2,Он показал, что для произвольно заданного набора Х_iY_i, всегда существует только один полином G_n(x), обеспечивающий выполнение поставленной задачи:

G_n(x) = sum(y_iF_i(x), суммирование от i=0 до i=n. По методу Лагранжа его коэффициенты F_i имеют вид:

а у_i - заданные значения графика в точках х_i. Соединяются сразу все точки. Результат совпадает с полиномом Ньютона.

Процедура интерполяции большого числа точек получается сложной, поэтому используют кусочное разделение всего интервала оси Х (ординат) на части и в каждой проводят интерполяцию. Возможные разрывы функции сшивают по границам.

Интерполяция входит в стандартный набор вычислительных программ. Сегодня обычно используют вариант Сплайн интерполяции. На Сплайн полином накладываются дополнительное ограничение:

, где f¹¹(t)-вторая производная интерполирующего полинома. Это ограничение минимизирует мощность колебаний. Степенью сплайна называется степень аппроксимирующего полинома. Напомним, что интерполирующая функция обязана проходить через все заданные точки X_iY_i, а интервалы х_i не обязательно равномерны.

Пример сплайн интерполяциипо программе МатЛаб показан нарис 6.3.

Процедуры с интерполирующим фильтром гарантирует ее спектральный состав. Классическая интерполяция Ньютона гарантирует только полиномиальное воплощение.

6.2. Аппроксимация Гаусса.

Гаусс (Рис 6.4).

При интерполяции искомая функция обязана проходить заданные точки. Форма кривой жестко ограничена полиномами. При аппроксимации искомая кривая не проходит через заданные точки, но должна "наименее" от них уклоняться. Форма такой кривой должна задаваться зарание априорно, но она произвольна. У Гаусса это был эллипс орбит планет. Орбита имела набор оптимизируемых параметров (масштаб, сдвиг, наклон), их подбор обеспечивал наименьшее уклонение.

Предположим, что мы имеем набор (i) экспериментально измеренных значений Ф(x_i) в точках x_i (i=1,2…к) и пытаемся их совместить с заранее выбранной функцией f(х,a,b), где "а,b" – оптимизируемые параметры. Представим сумму квадратов ошибок расхождения в виде:

(или )

Будем изменять "а,б" до достижения минимума. (Можно работать не с набором экспериментальных отсчетов, а с экспериментальным графиком. Тогда минимизации подлежит интеграл квадрата разности. Процедура остается без изменений).

Для нахождения искомых "а б" систему уравнений необходимо дифференцировать по "а" и "б", а результаты приравнять нулю: так находится точка MIN.

,

Полученные уравнения называется "нормальными". Их решение дает значения оценок а^, б^. Качество Аппроксимации определяется суммарным квадратом остаточных ошибок (невязкой Q_мин):

(или )

Еще раз обратим внимание, что в качестве искомой мы используем заранее известную, эталонную функцию с набором оптимизируемых параметров. В движении планет это эллипс. В теории распознавания (и при выделении сигнала в шумах) это эталонный образ. При обработке графиков лабораторных данных это обычно полиномы. В любом случае функция подбирается на основе априорных знаний или эвристически. Острым остается вопрос правильности ее выбора. Разумным критерием оценки качества является анализ величины невязки Q.

Качество найденной функции может оказаться плохой, с большой невязкой Q. Тогда предполагают, что искомая функция состоит из набора эталонов. Этот набор может быть частью базисного ряда. Впервые они были введены Фурье (1768 - 1830) в виде набора синусоид. Набор синусоид хорош для колебательных сигналов. Если ожидается импульсный вид, то при аппроксимации целесообразно применять полиномы Лежандра (Р), Лагерра (L), Эрмита (H), Чебышева (T).

Пусть мы использовали k первых членов базисного ряда и определили невязку Q_k. Для оценки качества аппроксимации увеличим число членов на единицу (используем k+1 членов) и найдем Q_k+1. Если Q_k и Q_k+1 отличаются незначительно, то число членов ряда выбрано правильно.