Интерполяция при постоянном шаге

Конечной разностью функции y=f(x) c шагом Dx=h называют функцию Dy=f(x+h)-f(x). Это первая конечная разность. Вторая конечная разность D²y=[f(x+2h)-f(x+h)]-[f(x+h)-f(x)]=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x).

Предположим, что функция y=f(x) задана в виде таблицы из четырех точек. Построим для нее таблицу конечных разностей:

В этой таблице

Предположим, что шаг в этой таблице – постоянный, то есть

(3.4)

Запишем полином, проходящий через все точки таблицы (это будет полином степени не выше третьей), в следующем виде:

(3.5)

Имеем:

Аналогично, . Обозначим . После подстановки в (3.5) значений и окончательно получаем:

Запишем общий вид полинома n-й степени:

«I» означает, что это первый интерполяционный полином Ньютона. Он удобен для вычислений, когда точка х^*, в которой нужно вычислить значение функции, расположена ближе к началу таблицы.

Если точка х^* расположена ближе к концу таблицы, то удобнее пользоваться формулой второго интерполяционного полинома Ньютона:

(3.7)

Результаты применения формул (3.6) и (3.7) – одни и те же, если используются одни и те же узлы таблицы.

Пример 3.2. Зависимость теплоемкости этана C_p от температуры T задана таблицей:

Определить, какова теплоемкость этана при Т=870 К и Т=522 К.

Решение. Так как шаг в таблице – постоянный (h=100), для решения задачи можно воспользоваться формулой интерполяционного полинома Ньютона. Построим таблицу конечных разностей. В ней x=Т, y=С_р.

x	y
	78.03	10.99	-1.1	0.06	-0.01
	89.02	9.89	-1.04	0.05
	98.91	8.85	-0.99
	107.76	7.86
	115.62

Из таблицы видно, что конечная разность четвертого порядка отлична от нуля, поэтому будем строить интерполяционный полином четвертой степени.

а) Так как точка х = 870 расположена ближе к концу таблицы, воспользуемся формулой второго интерполяционного полинома Ньютона (3.7), приняв х_n= 898; у_n=115.62;

. Тогда

Подставляя исходные данные в формулу (3.7), получим:

=113.5165.

Теплоемкость этана при Т = 870 К равна 113.5165 Дж/(моль·К).

b) Так как точка х=522 расположена ближе к началу таблицы, воспользуемся формулой первого интерполяционного полинома Ньютона (3.6), приняв х₀= 498; у₀=78.03.

Тогда

Подставляя исходные данные в формулу (2.6), получим:

Теплоемкость этана при Т = 522 К равна 80.7715 Дж/(моль·К).