Свойства степенных рядов

1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (– R; R).

2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R₁ и R₂, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R₁ и R₂.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке внутри интервала сходимости:

Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Ряд Тейлора

Функцию f(x) можно представить в виде бесконечного степенного ряда, который называется рядом Тейлора:

Частный случай этого ряда при a = 0 называется рядом Маклорена:

! Примеры: ,

Значение функции в точке x = b можно приближенно найти с помощью ограниченного ряда Тейлора (с помощью первых n членов) (формула Тейлора):

(1),

допустив при этом ошибку (остаточный член Лагранжа):

, (2)

где x - некоторое число, лежащее между a и b.

Коши доказал, что f(x) разлагается в ряд Тейлора, если .

@ Задача 3. Найти формулы для вычисления чисел e, и функции .

Решение: e и находятся с помощью формулы (1) и остаточного члена (2):

, ,

, .

Функция находится с помощью выражения для f(x) (формула (1), только вместо b нужно подставить x) и остаточного члена (2):

, .