Независимость случайных величин. Условные законы распределения

В §5 были введены понятия независимых и зависимых случайных событий. Аналогичные понятия вводятся и для случайных величин.

Пусть случайные величины ξ₁,ξ₂,…,ξ_n заданы на некотором вероятностном пространстве (Ω, ,P). Случайные величины ξ₁,ξ₂,…,ξ_n называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если имеет место равенство (1)

для произвольных x₁, x₂,…,x_n. Если равенство (1) переписать в виде:

то легко перейти к терминам функции распределения

. (1^¢)

Здесь F(x₁, x₂,…,x_n) - функция распределения случайного вектора ξ=(ξ₁, ξ₂,…,ξ_n), а F_i(x_i) - функция распределения i-ой компоненты вектора ξ.

Теорема. Пусть f(x₁, x₂,…,x_n) - плотность распределения случайного вектора ξ=(ξ₁, ξ₂,…,ξ_n). Случайные величины ξ₁, ξ₂,…,ξ_n независимы тогда и только тогда, когда во всех точках непрерывности функций f(x₁, x₂,…,x_n), f_i(x_i), i=1,2,…,n имеет место равенство

(2)

(без доказательства).

Здесь f_i(x_i) - плотность распределения i-ой компоненты вектора ξ.

Естественно, если условие (1^¢) или (2) не выполняется, то случайные величины ξ₁, ξ₂,…,ξ_n зависимые. Однако, речь идет не о функциональной, а о так называемой вероятностной зависимости. Например, количество выпавших осадков и урожай - величины случайные. Интуитивно ясно, что они зависимые, но эта зависимость не функциональная. В предельном случае вероятностная зависимость может перейти в функциональную.

Если случайные величины зависимые, то функция распределения (плотность), например, первой компоненты вектора будет зависеть от того, какие значения приняли остальные компоненты вектора. Такую функцию распределения (плотность) называют условной и говорят об условном законе распределения.

Рассмотрим двумерный случайный вектор (ξ,h). Тогда F₁(x/y) - условная функция распределения компоненты ξ при условии, что вторая компонента h приняла значение y. Аналогично определяются F₂(y/x), f₁(x/y), f₂(y/x). Условные функция и плотность распределения обладают всеми свойствами безусловных функций и плотности распределения.

Можно доказать, что если ξ и h зависимые, то вместо (1^¢) и (2) справедливы следующие формулы:

F(x,y)=F₁(x)F₂(y/x)= F₂(y)F₁(x/y), (3)

f(x,y)=f₁(x)f₂(y/x)= f₂(y)f₁(x/y). (4)

Равенства (3) и (4) называют теоремой умножения законов распределения. Из формул (1^¢)-(4) следует, что условие независимости случайных величин ξ и h можно записать в виде:

F₁(x/y)=F₁(x), F₂(y/x)=F₂(y),

f₁(x/y)=f₁(x), f₂(y/x)=f₂(y). (5)

Для дискретной случайной величины (ξ,h) условные вероятности даются формулами:

, (6)

. (7)

Пример 1. Найти закон распределения компоненты ξ случайного вектора (ξ,h), если а) h=y₁=3,

б) h=y₂=6 (см. пр.1 §14)

Решение: т.к. P(h=3)=0,5 и P(h=6)=0,5, то согласно (6) получим:

а) P(ξ =x_i/3)= p_i1/0,5; б) P(ξ =x_i/6)= p_i2/0.5, i=1,2,3,4. Условными законами распределения являются таблицы:

Пример 2.Cлучайный вектор (ξ,h) задан своей плотностью f(x,y)= exp(–4(x-2)²–6xy–9y²). Найти условную плотность компонент ξ и h. Зависимы ли ξ и h ?

Решение: Плотности распределения ξ и h - f ₁(x) и f ₂(y) найдены в пр.2 §14. Из (4) найдем:

,

.

Поскольку f₁(x/y)¹f₁(x), то ξ и h зависимые.